[论文解读] Regular cell complexes in total positivity

Patricia Hersh|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文证明了Fomin与Shapiro的一个猜想：在实数域上半单、单连通代数群的完全非负幂幺根子群的Bruhat分层中，单位元处的链是同胚于球体的正则CW复形。证明依赖于一个关于有限CW复形正则性的新判别准则，该准则结合了Bruhat序的组合学与余维一拓扑，并将其应用于Coxeter群中约化字所定义的映射的像，确认这些像为同胚于球体的正则CW复形，其闭包序集同构于Bruhat区间。

ABSTRACT

This paper proves a conjecture of Fomin and Shapiro that their combinatorial model for any Bruhat interval is a regular CW complex which is homeomorphic to a ball. The model consists of a stratified space which may be regarded as the link of an open cell intersected with a larger closed cell, all within the totally nonnegative part of the unipotent radical of an algebraic group. A parametrization due to Lusztig turns out to have all the requisite features to provide the attaching maps. A key ingredient is a new, readily verifiable criterion for which finite CW complexes are regular involving an interplay of topology with combinatorics.

研究动机与目标

• 证明Fomin-Shapiro猜想：在Borel子群的完全非负幂幺根子群的Bruhat分层中，单位元处的链是同胚于球体的正则CW复形。
• 解决Bernstein关于是否能自然地将合成Schubert簇与任意Coxeter群中的下Bruhat区间相关联的问题。
• 建立一个判断有限CW复形是否正则的新准则，该准则针对特定特征映射的选择，特别适用于从正则CW复形出发的映射像。
• 证明从单形（经面坍缩）出发、由Coxeter群中约化字参数化的连续映射的像，构成同胚于球体的正则CW复形。
• 证明此类复形的闭包序集同构于一个下Bruhat区间，从而在表示论与正则CW拓扑之间建立联系。

提出的方法

• 提出一个关于有限CW复形正则性的新判别准则（定理1.3），该准则基于闭包序集的组合学与余维一拓扑，要求对低维胞腔的原像满足特定条件，并要求区间为“细”的。
• 将该准则应用于从 $ \text{ℝ}^d $ 中非负单纯形与单位球面交集模等价关系（编码辫子移动）出发的连续映射 $ f_{(i_1,\text{...},i_d)} $ 的像。
• 利用Lusztig的结果：$ f_{(i_1,\text{...},i_d)} $ 在定义域内部是同胚，并通过识别映射将其延拓至商空间。
• 采用基于胞腔维数的归纳法，依赖Coxeter群中的交换公理，以确保余维一处的粘合映射为单射。
• 利用Björner与Wachs的结果：Bruhat序具有可壳化性与“细”性，以验证正则性准则中的组合条件。
• 利用定义域 $ ({\text{ℝ}}_{\text{≥q}0}^d \bigcap S_1^{d-1})/\text{∼} $ 是同胚于球体的正则CW复形，且映射 $ \bar{f} $ 保持胞腔结构，从而得出像的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Borel子群的完全非负幂幺根子群的Bruhat分层中，单位元处的链是否为同胚于球体的正则CW复形？
• RQ2 正则CW复形的闭包序集是否能自然地与Coxeter群中某个下Bruhat区间相等同？
• RQ3 能否提出一个关于有限CW复形正则性的新判别准则，避免事先要求粘合映射的单射性，而改用组合与拓扑条件？
• RQ4 从正则CW复形（例如经面坍缩的单形）出发、由Coxeter群中约化字参数化的连续映射的像，是否构成同胚于球体的正则CW复形？
• RQ5 映射 $ f_{(i_1,\text{...},i_d)} $ 的纤维（其编码了簇代数中的坐标变换）如何与像的拓扑及其胞腔结构相关联？

主要发现

• Fomin-Shapiro猜想被完全解决：在Borel子群的完全非负幂幺根子群的Bruhat分层中，单位元处的链是同胚于球体的正则CW复形。
• 由 $ w $ 的约化字定义的映射 $ f_{(i_1,\text{...},i_d)} $ 的像为同胚于球体的正则CW复形，其闭包序集同构于下Bruhat区间 $ (1,w] $。
• 新正则性判别准则（定理1.3）对有限CW复形在给定特征映射集下为正则的充要条件，且可直接应用于从正则CW复形出发的映射像。
• 余维一粘合映射的单射性由Coxeter群的交换条件所保证，从而支持正则性证明中的归纳步骤。
• 任意胞腔 $ u \in Y_w $ 的链 $ lk(u,w) $ 是同胚于球体的正则CW复形，其闭包序集同构于Bruhat区间 $ (u,w] $。
• 保持胞腔结构的同胚映射 $ \bar{f}_{(i_1,\text{...},i_d)} $ 在商空间 $ ({\text{ℝ}}_{\text{≥q}0}^d \bigcap S_1^{d-1})/\text{∼} $ 与 $ Y_w $ 之间诱导同胚，保持胞腔结构与正则性。