[论文解读] Regular characters of groups of type A_n over discrete valuation rings

Roi Krakovski, Uri Onn+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在奇特征有限剩余域的完备离散赋值环上，构造了一般线性群、特殊线性群及酉群的正则不可约表示。给出了这些表示的度的显式统一公式，并计算了它们的表示zeta函数，建立了Ennola对偶性，通过李代数特征标和群论下降方法，将结果推广至特殊线性群与酉群情形。

ABSTRACT

Let O be a complete discrete valuation ring with finite residue field k of odd characteristic. Let G be a general or special linear group or a unitary group defined over O and let $\mathfrak{g}$ denote its Lie algebra. For every positive integer l, let $K^l$ be the l-th principal congruence subgroup of G(O). A continuous irreducible representation of G(O) is called regular of level l if it is trivial on $K^{l+1}$ and its restriction to $K^l/K^{l+1} \simeq \mathfrak{g}(k)$ consists of characters with G(k)-stabiliser of minimal dimension. In this paper we construct the regular characters of G(O), compute their degrees and show that the latter satisfy Ennola duality. We give explicit uniform formulae for the regular part of the representation zeta functions of these groups.

研究动机与目标

• 在奇特征有限剩余域的完备离散赋值环上，系统构造类型A_n群的连续不可约正则表示。
• 计算这些正则表示的度，并建立其在不同群类型间的统一性。
• 推导这些群的正则部分表示zeta函数的显式公式。
• 通过分析到李代数和导出子群的限制，将理论推广至特殊线线性群与酉群。
• 在这些群的表示zeta函数背景下，验证Ennola对偶性。

提出的方法

• 利用$\mathbf{G}(\mathfrak{o})$的主同余子群$\mathsf{K}^\ell$定义表示的层级，并通过李代数$\mathfrak{g}(k)$分析其结构。
• 将正则特征标构造为$\mathfrak{g}(k)$中正则元素的拉回，其中正则性由特征多项式与极小多项式相等来定义。
• 应用$\mathbf{G}(k)$-等变同构，将$\mathfrak{g}(k)$与其Pontryagin对偶$\mathfrak{g}(k)^\vee$联系，将特征标提升至更高同余层级。
• 利用伴随作用与轨道结构，通过分拆类型提供的组合数据，按其稳定化子与类型$\tau$对正则特征标进行分类。
• 建立从$\mathbf{G}'(\mathfrak{o}_m)$到$\mathbf{G}'(k)$的约化映射的满射性，以确保与行列式条件及$\mathbf{G}'(k)$-轨道的相容性。
• 通过在轨道类型$\tau$上求和，推导zeta函数，其中包含度、轨道计数及校正因子$u_{\varepsilon_{\mathbf{G}}}^\tau(q)$与$\iota(\tau, q - \varepsilon_{\mathbf{G}})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在奇特征有限剩余域的离散赋值环上，系统构造$\mathbf{G}(\mathfrak{o})$（其中$\mathbf{G} = \mathbf{GL}_n, \mathbf{GU}_n$）的正则不可约表示？
• RQ2 正则表示在层级$\ell$下的度的显式公式是什么，其表达式如何用$n$、$q$与轨道类型$\tau$表示？
• RQ3 $\mathbf{G}(\mathfrak{o})$与$\mathbf{G}'(\mathfrak{o})$的表示zeta函数之间有何关系？在此设定下，Ennola对偶性是否成立？
• RQ4 限制到特殊线性群或酉群对正则特征标的数量与结构有何影响？
• RQ5 $\mathfrak{g}(k)$与$\mathfrak{g}'(k)$中轨道计数与稳定化子大小如何影响正则表示的计数？

主要发现

• 正则特征标$\chi$在$\mathbf{G}^\prime(\mathfrak{o}_{\ell+1})$上的度为$\chi(1) = q^{\binom{n}{2}(\ell-1)} \frac{v_{\varepsilon_{\mathbf{G}}}(q)}{u_{\varepsilon_{\mathbf{G}}}^{\tau}(q) \iota(\tau, q - \varepsilon_{\mathbf{G}})}$。
• 类型$\tau$的正则特征标数量为$q^{(n-1)(\ell-1)} u_{\varepsilon_{\mathbf{G}}}(q) \frac{\iota(\tau, q - \varepsilon_{\mathbf{G}})}{q - \varepsilon_{\mathbf{G}}} \cdot q^{-1} \prod_d \binom{\sum_e \tau_{d,e}}{\tau_{d,1}, \tau_{d,2}, \ldots} \binom{w_d(q)}{\sum_e \tau_{d,e}}$。
• $\mathbf{G}^\prime(\mathfrak{o})$的正则表示zeta函数为$\sum_{\ell=1}^\infty \zeta^{\mathrm{reg}}_{\mathbf{G}^\prime(\mathfrak{o}_{\ell+1})}(s)$，其显式公式包含$\iota(\tau, q - \varepsilon_{\mathbf{G}})^2 / (q - \varepsilon_{\mathbf{G}})$与度的倒数的$s$次幂。
• $\mathfrak{g}^\prime(k)$中类型$\tau$的$\mathbf{G}^\prime(k)$-轨道数量为$\mathfrak{g}(k)$中数量的$q^{-1}$倍，这是由于迹条件与商映射$\mathfrak{g}(k) \to \mathfrak{g}^\prime(k)$所致。
• Ennola对偶性在$\mathbf{G}(\mathfrak{o})$与$\mathbf{G}^\prime(\mathfrak{o})$的zeta函数中成立，其公式结构的对称性为此提供了证据。
• $\mathbf{G}^\prime(\mathfrak{o}_m) \to \mathbf{G}^\prime(k)$的约化映射在中心化子上是满射，确保$\mathbf{G}^\prime(k)$-轨道能从剩余域正确提升。