[论文解读] Regular conditional distributions of max infinitely divisible processes

Clément Dombry, Frédéric Éyi-Minko|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文为在特定位置观测到的取值条件下，最大无穷可分（max-i.D.）过程的正则条件分布提供了显式表达式。通过利用点过程表示法，并引入极值函数与次极值函数的概念，以及击中情景（hitting scenarios），作者推导出所有相容情景上的混合公式，推广了以往关于最大线性场的结果，并为极值理论中的新预测工具奠定了基础。

ABSTRACT

This paper is devoted to the prediction problem in extreme value theory. Our main result is an explicit expression of the regular conditional distribution of a max-stable (or max-infinitely divisible) process $\{η(t)\}_{t\in T}$ given observations $\{η(t_i)=y_i,\ 1\leq i\leq k\}$. Our starting point is the point process representation of max-infinitely divisible processes by Giné, Hahn and Vatan (1990). We carefully analyze the structure of the underlying point process, introduce the notions of extremal function, sub-extremal function and hitting scenario associated to the constraints and derive the associated distributions. This allows us to explicit the conditional distribution as a mixture over all hitting scenarios compatible with the conditioning constraints. This formula extends a recent related result by Wang and Stoev (2011) dealing with the case of spectrally discrete max-stable random fields. We believe this work offers new tools and perspective for prediction in extreme value theory together with numerous potential applications.

研究动机与目标

• 开发一种利用观测到的极端值预测最大无穷可分过程的一般性框架。
• 将Wang和Stoev（2011）关于最大线性场的结果扩展至样本连续的最大无穷可分过程的更广类。
• 形式化击中情景的概念及其在条件分布推导中的作用。
• 利用点过程与泊松随机测度理论，建立条件分布的存在性与正则性。
• 为空间与多变量极值分析中的预测提供理论基础。

提出的方法

• 利用定义在连续函数空间上的泊松随机测度Φ，对最大无穷可分过程进行点过程表示。
• 引入极值函数的概念：即在观测位置达到最大值的函数；以及次极值函数：即未在这些位置达到最大值的函数。
• 将击中情景定义为在条件位置贡献于观测值的极值函数的索引集合。
• 推导出正则条件分布为所有与观测数据相容的可接受击中情景上的混合形式。
• 采用正则条件概率核与可测选择技术，确保条件分布的存在性与可测性。
• 应用点过程理论结果，包括原子的可测枚举及泊松测度的性质，以建立理论基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在有限个位置观测到取值的条件下，显式刻画最大无穷可分过程的条件分布？
• RQ2 击中情景在决定条件分布结构中起什么作用？
• RQ3 最大无穷可分过程的点过程表示如何促进正则条件分布的推导？
• RQ4 最大线性场的框架能否推广至最大无穷可分过程的完整类？
• RQ5 在此情境下，条件测度正则版本存在的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 在有限个位置观测到取值的条件下，最大无穷可分过程的正则条件分布可表示为所有与数据相容的可接受击中情景上的混合形式。
• 通过在环形区域上进行可测分解与归一化，严格证明了在给定f(s) ∈ [0,∞)^l ∆{0}条件下，条件测度μ(df)的正则版本的存在性。
• 本文通过将样本连续的最大无穷可分过程类扩展至整个类，推广了Wang和Stoev（2011）关于最大线性场的结果。
• 原子的可测选择与可测核的构造，确保了条件分布框架的理论有效性。
• 该框架为极值理论中的预测，特别是空间与多变量极值，提供了一种新颖且通用的工具。
• 通过使用极值函数与次极值函数，实现了基于函数对观测最大值贡献的结构化分解，从而对条件分布进行分解。