[论文解读] Regular Dirichlet subspaces and Mosco convergence

Liping Li, Xiucui Song|arXiv (Cornell University)|May 3, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文证明，在一维不可约强局部Dirichlet型的正则Dirichlet子空间中，特征集的收敛性蕴含Mosco收敛性。关键结果表明，Mosco收敛性不保持全局性质（如保守性），通过反例表明保守型可收敛至非保守型，反之亦然。

ABSTRACT

In this paper, we shall explore the Mosco convergence on regular subspaces of one-dimensional irreducible and strongly local Dirichlet forms. We find that if the characteristic sets of regular subspaces are convergent, then their associated regular subspaces are convergent in sense of Mosco. Finally, we shall show some examples to illustrate that the Mosco convergence does not preserve any global properties of Dirichlet forms.

研究动机与目标

• 研究一维不可约强局部Dirichlet型的正则Dirichlet子空间在Mosco意义下的收敛条件。
• 确定Mosco收敛性是否保持与扩散过程相关的全局性质（如保守性或常返性）。
• 构造显式反例，证明Mosco收敛性不保持Dirichlet型的全局路径性质。
• 厘清在正则子空间背景下，特征集收敛性与Mosco收敛性之间的关系。

提出的方法

• 作者利用缩放函数与特征集理论，分析一维不可约强局部Dirichlet型的正则Dirichlet子空间。
• 通过标准准则定义Mosco收敛性：沿弱收敛序列的下极限能量形式与沿强收敛序列的上极限能量形式。
• 证明特征集的收敛性可推出相关正则子空间的Mosco收敛性。
• 通过Lebesgue-Stieltjes测度及在端点附近积分发散的严格递增函数，构造反例以控制常返性/常返性与保守性。
• 论文采用如下判别准则：一维扩散过程为保守型当且仅当两端点在有限时间内不可达，这取决于缩放函数关于速度测度的可积性。
• 作者应用推论3.3与定理4.2，验证具有不同特征集的Dirichlet型序列的Mosco收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 特征集收敛在何种条件下蕴含正则Dirichlet子空间的Mosco收敛性？
• RQ2 正则Dirichlet子空间的Mosco收敛性是否保持相关Hunt过程的保守性？
• RQ3 是否存在非保守Dirichlet型序列在Mosco意义下收敛至保守型极限？
• RQ4 是否存在保守Dirichlet型序列在Mosco意义下收敛至非保守型极限？
• RQ5 缩放函数与速度测度如何影响正则子空间的保守性与Mosco收敛性？

主要发现

• 在一维不可约强局部Dirichlet型中，正则Dirichlet子空间的Mosco收敛性由其特征集的收敛性所蕴含。
• 当特征集收敛时，相关正则子空间在Mosco意义下收敛至完整Dirichlet型。
• 非保守Dirichlet型序列可在Mosco意义下收敛至保守型极限，表明保守性不被保持。
• 反之，保守Dirichlet型序列也可在Mosco意义下收敛至非保守型极限，表明Mosco收敛性不保持全局性质。
• 一维扩散过程的保守性取决于端点是否在有限时间内可达，这取决于缩放函数关于速度测度的可积性。
• 通过在端点附近使用发散积分的显式构造，可生成具有所需常返性/常返性与保守性性质的Dirichlet型，从而构造出Mosco收敛稳定性失效的反例。