[论文解读] Regular domains and surfaces of constant Gaussian curvature in three-dimensional affine space

Xin Nie, Andrea Seppi|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Mar 19, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文在3维仿射空间中建立了具有常仿射高斯曲率（CAGC）的完备曲面的存在性与唯一性，这些曲面以由凸锥定义的恰当正规区域为底，形成叶状结构。通过求解具有下半连续边界数据和梯度爆破的两步Monge-Ampère方程，该研究将仿射球与闵可夫斯基空间中的常曲率曲面理论统一起来，并证明在满足外圆条件的假设下，每个此类区域均存在唯一的CAGC叶状结构。

ABSTRACT

Generalizing the notion of domains of dependence in the Minkowski space, we define and study regular domains in the affine space with respect to a proper convex cone. In dimension three, we show that every proper regular domain is uniquely foliated by a particular kind of surfaces with constant affine Gaussian curvature. The result is based on the analysis of a Monge-Ampère equation with extended-real-valued lower semicontinuous boundary condition.

研究动机与目标

• 统一两个经典结果：凸锥中的仿射球与闵可夫斯基空间中的常曲率曲面。
• 将Monge-Ampère方程的Dirichlet问题推广至包含扩展实值、下半连续边界数据的情形。
• 在3维仿射空间中建立具有常仿射高斯曲率的完备曲面的存在性与唯一性。
• 通过CAGC叶状结构刻画正规区域的几何结构。
• 将仿射微分几何理论扩展至包含非光滑边界数据与奇异曲率条件的情形。

提出的方法

• 提出一个两步Monge-Ampère方程，涉及标准Monge-Ampère方程（1.1）的解以及依赖于曲率的右侧项。
• 在区域边界处施加梯度爆破条件，以确保所得曲面的完备性。
• 在区域边界上应用外圆条件，以控制右侧项的增长并保证解的正则性。
• 利用凸锥与其对偶之间的对偶构造，将边界函数φ与区域的几何结构联系起来。
• 采用变分方法与退化Monge-Ampère方程在奇异右侧项下的正则性理论。
• 应用凸分析与射影几何的结果，将区域表征为由CAGC曲面生成的正规区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在3维仿射空间中，何种条件下恰当正规区域允许存在唯一的常仿射高斯曲率曲面叶状结构？
• RQ2 对于具有奇异边界数据与梯度爆破的Monge-Ampère方程，其解是否可唯一延拓为具有指定CAGC的完备曲面？
• RQ3 区域边界几何结构（如外圆条件）如何影响CAGC曲面的存在性与正则性？
• RQ4 投影对偶锥与区域中完备仿射(C,k)-超曲面的存在性之间存在何种关系？
• RQ5 当对偶锥边界缺乏C¹光滑性时，何种情况下会阻止完备CAGC曲面的存在？

主要发现

• 对于任意满足外圆条件的有界凸区域Ω ⊂ ℝ²，以及任意至少取三个有限值的下半连续边界函数φ，存在唯一的下半连续凸函数u，满足两步Monge-Ampère方程（1.3）。
• 解u的定义域与φ取有限值的集合的凸包完全一致，从而保证了与边界数据的几何一致性。
• 解u在其定义域的每个边界点处具有无穷内导数，这保证了对应CAGC曲面的完备性。
• 当对偶锥的投影边界为三角形，且边界曲线以非切向、非退化的形式与每条边相交时，该区域被唯一地叶状分解为每个k > 0对应的完备仿射(C,k)-曲面。
• 若对偶锥边界在三角形的一条边上仅在一个非光滑点处相交，且两条切线均指向内部，则不存在此类完备CAGC曲面。
• 当且仅当在区域每个顶点处均满足外圆条件时，解u属于类S₀(Ω)，此时顶点处内导数有限，且解具有正则性。