[论文解读] Regular Flows for Diffusions with Rough Drifts

Fraydoun Rezakhanlou|arXiv (Cornell University)|May 22, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 13

一句话总结

该论文在条件 $ r/d + 2/q < 1 $ 下，建立了 $ L^{r,q} $ 空间中具有粗糙漂移的随机微分方程（SDEs）的弱可微流的存在性。论文证明了流的空间导数及其逆的拉伸指数矩界，从而实现了近乎利普希茨正则性与联合霍尔德连续性，其应用包括辛流的分析以及通过随机流对纳维-斯托克斯方程的几何表述。

ABSTRACT

According to DiPerna-Lions theory, velocity fields with weak derivatives in $L^p$ spaces possess weakly regular flows. When a velocity field is perturbed by a white noise, the corresponding (stochastic) flow is far more regular in spatial variables; a $d$-dimensional diffusion with a drift in $L^{r,q}$ space ($r$ for the spatial variable and $q$ for the temporal variable) possesses weak derivatives with stretched exponential bounds, provided that $r/d+2/q&lt;1$. As an application we show that a Hamiltonian system that is perturbed by a white noise produces a symplectic flow provided that the corresponding Hamiltonian function $H$ satisfies $ abla H\in L^{r,q}$ with $r/d+2/q&lt;1$. As our second application we derive a Constantin-Iyer type circulation formula for certain weak solutions of Navier-Stokes equation.

研究动机与目标

• 建立 $ L^{r,q} $ 空间中具有粗糙漂移的 SDE 的随机流的存在性与正则性。
• 推导流的空间导数及其逆的矩界，确保空间中近乎利普希茨正则性。
• 将正则性结果应用于受白噪声扰动的哈密顿系统，证明其生成辛流。
• 通过随机流与拉面对形式的鞅性质，提供纳维-斯托克斯方程的几何表述。
• 通过逼近与极限论证，将康斯坦丁-伊尔循环公式推广至纳维-斯托克斯方程的弱解。

提出的方法

• 论文采用随机流与 $ L^{r,q} $ 中漂移的理论，其中范数定义为 $ \|u\|_{r,q} = \left[\int_0^T \|u(\cdot,t)\|_{L^r}^q dt\right]^{1/q} $。
• 在条件 $ \delta_1 = \frac{1}{2} - \frac{d}{2r} - \frac{1}{q} > 0 $ 下，对雅可比矩阵 $ D_aX(a,t) $ 及其逆应用先验矩估计，推导出拉伸指数界。
• 关键技术工具是随机分析，特别是伊藤公式以及拉面对形式的鞅表示。
• 作者通过光滑函数逼近粗糙漂移，并利用在 $ L^\infty_{\text{loc}} $ 中的收敛性与雅可比矩阵在 $ L^p $ 中的弱收敛性，取极限。
• 通过 $ X_t^*\beta = (DX_t)^* (\beta \circ X_t) $ 定义微分形式的拉回，证明在所得正则性下其定义良好。
• 证明拉回形式的鞅性质依赖于：当 $ N \to \infty $ 时，逼近漂移的误差在期望下趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$ u \in L^{r,q} $ 的漂移使得 SDE $ dX = u(X,t)dt + \sigma dB $ 允许具有受控空间正则性的弱可微流？
• RQ2 具有粗糙漂移的随机流是否可在空间中表现出近乎利普希茨连续性？其行为由何种矩界控制？
• RQ3 当 $ \nabla H \in L^{r,q} $ 且 $ r/d + 2/q < 1 $ 时，哈密顿系统是否生成辛随机流？
• RQ4 能否通过随机流将康斯坦丁-伊尔循环公式推广至纳维-斯托克斯方程的弱解？
• RQ5 在随机流下微分形式的拉回是否定义良好？其在极限下是否保持鞅性质？

主要发现

• SDE 的流 $ X $ 在空间上弱可微，且满足 $ \sup_a \mathbb{E}[|D_aX(a,t)|^p + |(D_aX(a,t))^{-1}|^p] \leq C_0^p \exp\left(C_1 \sigma^{-1/\delta_1 (1 + d/r)} p^{1/\delta_1} \|u\|_{r,q}^{1/\delta_1} t\right) $，其中 $ \delta_1 > 0 $。
• 流满足尾部估计：$ \sup_a \mathbb{P}(|D_aX(a,t)| \geq \lambda) \leq \exp\left(-C_1' \sigma^{1/(1 - \delta_1)(1 + d/r)} \|u\|_{r,q}^{-1/(1 - \delta_1)} t^{-\delta_1/(1 - \delta_1)} (\log^+ \lambda / C_0)^{1/(1 - \delta_1)}\right) $，表明近乎利普希茨正则性。
• 流在空间与时间上具有联合霍尔德连续性：$ \mathbb{E}[S_{T,\ell}(X;\delta)] \leq C_2' \delta^\alpha \exp\left(C_2' \sigma^{-1/\delta_1 (1 + d/r)} \|u\|_{r,q}^{1/\delta_1}\right) $，其中 $ \alpha \in (0,1/2) $。
• 当 $ \nabla H \in L^{r,q} $ 且 $ r/d + 2/q < 1 $ 时，受白噪声扰动的哈密顿系统生成辛随机流。
• 在流下速度 1-形式 $ \alpha = u \cdot dx $ 的拉回满足 $ X_t^*\alpha^t = \alpha^0 + M^t + \hat{d}K^t $，其中 $ M^t $ 为鞅，从而将循环公式推广至弱解。
• 逼近流 $ Y^\varepsilon $ 的极限收敛于 $ X $ 于 $ L^\infty_{\text{loc}} $，且 $ D_aY^\varepsilon \to D_aX $ 在 $ L^p $ 中弱收敛，从而允许在鞅表示中取极限。