[论文解读] Regular holomorphic webs of codimension one

Vincent Cavalier, Daniel Lehmann|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 1

一句话总结

本文引入了复n维流形上余维一全纯d-丛的新正则性概念，定义了一个临界解析子集S，其中丛的结构发生退化。文章建立了此类正则丛的秩的上界π′(n,d)，该上界严格低于Castelnuovo的上界π(n,d)，并构造了一个在M₀\S上丛上的全纯联络，其曲率阻碍了最大秩的实现；该上界对仿射正则丛而言是最优的。

ABSTRACT

Version du 16/03/2007 Given a d-web of codimension one on a holomorphic n-dimensional manifold M0 (d> n), we assume that, at any point of M0, the d hyperplanes tangent to the local foliations at a point of M0 are distinct, and that there exists n of them in general position (but we do not require any n of them to be in general position). For such a web, we shall define some specific analytical subset S of M0 which-generically- has dimension ≤ n − 1 or is empty: in this case the web will be said “regular”; when-exceptionally- the set S is n-dimensional, the web will be said “special”. We prove that the rank of regular d-webs has an upper-bound π ′ (n, d) which, for n ≥ 3, is strictly smaller than the bound π(n, d) of Castelnuovo (the maximal arithmetical genus of an algebraic curve of degree d in the complex n-dimensional projective space Pn). Let c(n, h) denote the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h in n variables. The number π ′ (n, d) is then equal- to 0 for d < c(n,2),- and to P ` ´+ + h≥1 d−c(n, h) for d ≥ c(n, 2), (a) denoting the number sup (a,0) for any a ∈Z. For any regular d-web with d = c(n, h) for some h ≥ 2, we define a holomorphic connection on some holomorphic bundle E of rank π ′ (n, d) over M0 \\S, such that the set of abelian relations inject into the set of sections of E the covariant derivative of which vanishes: the curvature of this connection, which generalizes the Blaschke curvature, is then an obstruction for the rank of the web to have the maximal possible value π ′ (n, d). When n = 2, any web is regular and we recover the results of [He1]. Other examples are given. In particular, any affine regular d-web in dimension n has maximal rank π ′ (n, d), hence the optimality of this bound. 1 Regular holomorphic webs of codimension one

研究动机与目标

• 在全纯n-流形上定义并表征余维一全纯d-丛，通过一个解析子集S将其与特殊丛区分开来。
• 为正则d-丛的秩建立一个新的上界π′(n,d)，该上界严格小于Castelnuovo的上界π(n,d)。
• 对于满足d = c(n,h)且h ≥ 2的正则d-丛，在M₀\S上构造一个丛上的全纯联络，使得零协变导数的截面表征阿贝尔关系。
• 将Blaschke曲率推广为正则d-丛中最大秩的阻碍。

提出的方法

• 当d个切超平面在集合S上不处于一般位置时，定义该d-丛为正则的，其中S的维数≤ n−1或为空集。
• 引入c(n,h)为n个变量中d次齐次多项式空间的维数，并通过h ≥ 1的求和，以max(d − c(n,h), 0)的形式定义π′(n,d)。
• 当d = c(n,h)且h ≥ 2时，在M₀\S上构造一个秩为π′(n,d)的全纯向量丛E。
• 在E上定义一个全纯联络，使得阿贝尔关系对应于协变导数为零的截面。
• 证明该联络的曲率阻碍了秩达到最大可能值π′(n,d)。
• 验证仿射正则d-丛实现了该最大秩，从而证明了π′(n,d)的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复n-流形上，余维一d-丛满足何种条件可称为正则的？这与每点处切超平面结构有何关联？
• RQ2 新上界π′(n,d)与Castelnuovo上界π(n,d)相比如何？为何当n ≥ 3时其严格更小？
• RQ3 能否在非奇点集M₀\S上构造一个丛上的全纯联络，使得阿贝尔关系由协变导数为零的截面表征？
• RQ4 该联络的曲率在何种意义上推广了经典情况下的Blaschke曲率，并阻碍了最大秩的实现？
• RQ5 上界π′(n,d)是否最优？仿射正则d-丛是否实现了该上界？

主要发现

• 任何正则d-丛的秩均被上界π′(n,d)所限制，且当n ≥ 3时，该上界严格小于Castelnuovo的上界π(n,d)。
• 当d < c(n,2)时，π′(n,d)为零，表明不存在非平凡的阿贝尔关系。
• 当d ≥ c(n,2)时，π′(n,d)由h ≥ 1的求和式∑max(d − c(n,h), 0)给出，提供了最大可能秩的精确公式。
• 当d = c(n,h)且h ≥ 2时，在M₀\S上构造了一个秩为π′(n,d)的丛，其上存在一个全纯联络，使得阿贝尔关系对应于协变导数为零的截面。
• 该联络的曲率阻碍了秩达到π′(n,d)，在经典情形下推广了Blaschke曲率。
• 仿射正则d-丛实现了最大秩π′(n,d)，从而证明了该上界的紧致性与最优性。