[论文解读] Regular infinite dimensional Lie groups

Andreas Kriegl, Peter W. Michor|ArXiv.org|Jan 2, 1998

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 33

一句话总结

本文证明了正则无限维李群——即具有光滑演化算子将李代数曲线映射为群曲线的李群——具有类似于有限维李群理论的稳健微分几何。关键贡献在于证明了：当结构群为正则李群时，主丛上的平坦联络可积分为水平叶状结构，且若目标群为正则李群，则从单连通群到李代数的同态可提升为李群同态。

ABSTRACT

Regular Lie groups are infinite dimensional Lie groups with the property that smooth curves in the Lie algebra integrate to smooth curves in the group in a smooth way (an `evolution operator' exists). Up to now all known smooth Lie groups are regular. We show in this paper that regular Lie groups allow to push surprisingly far the geometry of principal bundles: parallel transport exists and flat connections integrate to horizontal foliations as in finite dimensions. As consequences we obtain that Lie algebra homomorphisms intergrate to Lie group homomorphisms, if the source group is simply connected and the image group is regular.

研究动机与目标

• 发展无限维李群的几何理论，突破经典李群理论的局限。
• 解决许多无限维李群中指数映射失效及可积性缺失的问题。
• 表明具有光滑演化算子的正则李群可实现出出人意料的完整微分几何。
• 证明主丛上具有正则结构群的平坦联络可积分为水平叶状结构。
• 建立从单连通正则李群到李代数的同态可积分为李群同态的理论。

提出的方法

• 采用文献[4]中的便利微积分框架，处理局部凸空间上的光滑映射。
• 通过存在一个将李代数中的曲线积分到群中曲线的光滑演化算子，定义正则李群。
• 利用主丛和联络推导对数导数的Maurer-Cartan方程。
• 证明演化算子满足涉及伴随作用和李括积的微分方程。
• 在C∞(R, g)和C∞(R, G)上构造半直积结构，以证明环路群及相关群的正则性。
• 使用右对数导数δr识别演化映射的核，证明其为正则李群。

实验结果

研究问题

• RQ1 主丛的几何能否推广到无限维正则李群？
• RQ2 在何种条件下，无限维李代数之间的李代数同态可积分为李群同态？
• RQ3 若李群上存在光滑演化算子，是否意味着平坦联络可积？
• RQ4 环路群上演化映射的核是否为正则李群？
• RQ5 便利微积分框架如何支持正则李群理论？

主要发现

• 具有正则结构群的主丛上的平坦联络可积分为水平叶状结构，推广了有限维情形。
• 若目标群为正则李群，则从单连通正则李群到李代数的同态可积分为李群同态。
• 在李代数g中取值的光滑R-值曲线群C∞(R, g)在逐点乘法下构成正则李群。
• C∞(R, G)上的演化算子满足Evolr_C∞(R,G) = C∞(R, Evolr_G)，表明其与乘积结构相容。
• 演化映射evolr_G: C∞(R, g) → G的核同构于C∞((S1,1),(G,e))，在逐点乘法下构成正则李群。
• 子群C∞((S1,1),(G,e))是C∞(S1, G)的闭正规子群，且C∞(S1, G)同构于半直积C∞((S1,1),(G,e)) ⋊ G。