[论文解读] Regular operators between non-commutative $L_p$-spaces

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 1993

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文引入了与超有限冯诺依曼代数相关的非交换 $L_p$-空间之间的正则算子，推广了巴拿赫格序空间上正则映射的经典概念。证明了一个映射是正则的，当且仅当它是有界完全正映射的线性组合，并利用卡尔德龙的复插值方法证明了等距插值恒等式 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$，其中 $\theta = 1/p$。

ABSTRACT

We introduce the notion of a regular mapping on a non-commutative $L_p$-space associated to a hyperfinite von Neumann algebra for $1\le p\le \infty$. This is a non-commutative generalization of the notion of regular or order bounded map on a Banach lattice. This extension is based on our recent paper [P3], where we introduce and study a non-commutative version of vector valued $L_p$-spaces. In the extreme cases $p=1$ and $p=\infty$, our regular operators reduce to the completely bounded ones and the regular norm coincides with the $cb$-norm. We prove that a mapping is regular iff it is a linear combination of bounded, completely positive mappings. We prove an extension theorem for regular mappings defined on a subspace of a non-commutative $L_p$-space. Finally, let $R_p$ be the space of all regular mappings on a given non-commutative $L_p$-space equipped with the regular norm. We prove the isometric identity $R_p=(R_\infty,R_1)^θ$ where $θ=1/p$ and where $(\ .\ ,\ .\ )^θ$ is the dual variant of Calderón's complex interpolation method.

研究动机与目标

• 将巴拿赫格序空间上正则（序有界）算子的概念推广至非交换 $L_p$-空间。
• 为 $1 \leq p \leq \infty$ 的非交换 $L_p$-空间之间的算子定义并研究正则范数。
• 将正则算子表征为有界完全正映射的有限线性组合。
• 证明定义在非交换 $L_p$-空间子空间上的正则映射的延拓定理。
• 确定正则算子空间 $R_p$ 的复插值结构，证明 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$，其中 $\theta = 1/p$。

提出的方法

• 通过非交换序有界的向量值 $L_p$-空间框架（基于先前工作）来定义非交换 $L_p$-空间上的正则算子。
• 利用超有限冯诺依曼代数的框架，以确保适当的对偶性和逼近性质。
• 将正则算子表征为有界完全正映射的有限线性组合，建立其结构分解。
• 应用卡尔德龙复插值方法的对偶变体，以分析插值空间 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$。
• 通过验证插值范数在 $\theta = 1/p$ 时与正则范数一致，证明等距恒等式 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$。
• 建立从非交换 $L_p$-空间子空间到全空间的正则算子延拓定理，保持正则范数不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将巴拿赫格序空间上正则算子的经典概念推广至非交换 $L_p$-空间？
• RQ2 非交换 $L_p$-空间之间正则算子的精确表征是什么，其与完全正映射的关系如何？
• RQ3 在极端情况 $p=1$ 和 $p=\infty$ 下，正则范数与 $cb$-范数有何关系？
• RQ4 正则算子空间 $R_p$ 的复插值结构是什么？
• RQ5 能否在保持正则范数的前提下，将定义在非交换 $L_p$-空间子空间上的正则算子延拓至全空间？

主要发现

• 在非交换 $L_p$-空间之间，一个线性算子是正则的，当且仅当它是有界完全正映射的有限线性组合。
• 在极端情况下，正则范数与 $cb$-范数一致：当 $p=1$ 和 $p=\infty$ 时，正则算子恰好是完全有界算子。
• 正则算子空间 $R_p$ 满足等距插值恒等式 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$，其中 $\theta = 1/p$，此处 $(\cdot, \cdot)^\theta$ 表示卡尔德龙复插值方法的对偶变体。
• 建立了延拓定理：每个定义在非交换 $L_p$-空间子空间上的正则算子，均可延拓至全空间，且保持相同的正则范数。
• 在 $R_p$ 上的正则范数与复插值范数等价，确认了插值结构的对偶性与相容性。
• 结果将非交换 $L_p$-空间中正则算子的理论与非交换泛分析中完全有界映射及插值空间的理论统一起来。