[论文解读] Regular path-constrained time-optimal control problems in three-dimensional flow fields

Roman Chertovskih, Dmitry Karamzin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Aerospace Engineering and Control Systems参考文献 42被引用 32

一句话总结

本论文提出了一种用于稳态流场中三维系统在状态约束下的时间最优控制的间接数值方法，基于在正则性条件下应用Gamkrelidze的最大值原理。关键贡献在于一种计算上鲁棒的方法，确保测度乘子的连续性，从而通过打靶法准确计算出具有柱面、球面和环面约束的极值轨迹，且控制与乘子的解析表达式明确。

ABSTRACT

This article concerns a class of time-optimal state constrained control problems with dynamics defined by an ordinary differential equation involving a three-dimensional steady flow vector field. The problem is solved via an indirect method based on the maximum principle in Gamkrelidze's form. The proposed computational method essentially uses a certain regularity condition imposed on the data of the problem. The property of regularity guarantees the continuity of the measure multiplier associated with the state constraint, and ensures the appropriate behavior of the corresponding numerical procedure which, in general, consists in computing the entire field of extremals for the problem in question. Several examples of vector fields are considered to illustrate the computational approach.

研究动机与目标

• 解决在三维稳态流场中具有状态约束的时间最优控制问题的数值求解挑战。
• 开发一种计算框架，确保与状态约束相关的测度乘子连续，克服由奇点引起的数值不稳定性。
• 将先前的二维结果扩展至三维几何结构，包括圆柱体、球体和环面，在仿射控制动力学下进行。
• 在正则性条件下提供最优控制与测度乘子的显式解析公式，使通过两点边值问题求解器实现数值求解成为可能。
• 在具有已知解析结构的代表性流场中验证该方法，展示计算极值轨迹时的收敛性与准确性。

提出的方法

• 应用Gamkrelidze形式的最大值原理，推导具有状态约束的时间最优控制的必要最优性条件。
• 对状态约束函数g与流场v(x)引入正则性条件，确保测度乘子连续且无原子。
• 推导出在柱面、球面和环面约束下，最优控制与测度乘子关于状态变量与伴随变量的显式解析表达式。
• 将两点边值问题（TPBVP）简化为仅依赖于状态与伴随变量的形式，从而通过仅含两个初始伴随参数的打靶法实现数值求解。
• 实施数值打靶过程以计算极值轨迹，内部弧与边界弧之间的连接点由测度乘子的连续性确定。
• 在具有光滑向量场（如涡流）的三维测试案例中验证该方法，比较最优与非最优轨迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将最优控制的间接方法适配于具有状态约束的三维稳态流场中的时间最优问题？
• RQ2 何种正则性条件可确保状态约束最优控制问题中测度乘子的连续性？
• RQ3 在三维设置下，最优控制与测度乘子的显式解析表达式如何提升数值求解的精度？
• RQ4 约束几何形状（圆柱体、球体、环面）对极值轨迹与控制输入结构有何影响？
• RQ5 与现有间接或直接方法相比，该方法在性能与精度方面表现如何？

主要发现

• 对状态约束与流场施加的正则性条件可确保测度乘子的连续性，这对于稳定计算内部弧与边界弧之间连接点至关重要。
• 在流场v(x) = (0, 0, x₁² + x₂²)的圆柱约束下，最优轨迹（T* = 3.81）从t = 0.92到t = 1.78沿边界运行，优于内部轨迹（4.25单位）。
• 在涡流v(x) = (4/(1+e⁻⁶ˣ²)−2, −4/(1+e⁻⁶ˣ¹)+2, 0)的球面情况下，最优极值轨迹（T* = 0.81）速度约为非边界轨迹（1.73单位）的两倍。
• 测度乘子µ(t)在内部为常数，在边界上为线性函数，该性质可针对所考虑的流场进行解析验证。
• 打靶法成功计算了所有三种约束几何形状的极值轨迹，数值解收敛至满足最大值原理与边界条件的轨迹。
• 计算结果证实，在高速流区域沿边界行进具有优势，即使流速在边界附近更快，也因路径几何与控制对齐的有利条件而受益。