[论文解读] Regular poles for spinor $L$-series attached to split Bessel models of $\mathrm{GSp}(4)$

Mirko Rösner, Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文确定了非阿基米德局部域 $k$ 上 $\mathrm{GSp}(4,k)$ 的不可约光滑表示在分裂贝塞尔模型下的皮亚特斯基-夏皮罗 $L$-因子的正则部分。通过 $P_3$-理论与同调代数方法，作者对贝塞尔模进行了分类，并证明正则 $L$-因子与分裂贝塞尔模型的选择无关，从而证实了该情形下长期存在的一个预期。

ABSTRACT

For irreducible smooth representations $Π$ of $\mathrm{GSp}(4,k)$ over a non-archimedean local field $k$, Piatetskii-Shapiro and Soudry have constructed an $L$-factor depending on the choice of a Bessel model. It factorizes into a regular part and an exceptional part. We determine the regular part for the case of split Bessel models.

研究动机与目标

• 确定非阿基米德局部域上 $\mathrm{GSp}(4)$ 表示的分裂贝塞尔模型的皮亚特斯基-夏皮罗 $L$-因子正则部分。
• 建立正则 $L$-因子与分裂贝塞尔模型选择无关，解决该理论中的一个关键预期。
• 对 $\mathrm{GSp}(4,k)$ 的不可约表示 $\ Pi$ 的贝塞尔模 $\tilde{\Pi}$ 进行分类，尤其关注分裂情形。
• 通过贝塞尔模的归一化完美商，将正则 $L$-因子与 $L(s, \mu \otimes M)$ 联系起来。
• 确认正则 $L$-因子与典型表示的诺沃多夫斯基本 $L$-因子一致，并与非极大 cuspidal 表示的朗兰兹参数兼容。

提出的方法

• 应用 $P_3$-理论与同调代数技术，研究贝塞尔模 $\tilde{\Pi} = \Pi_{\widetilde{R},\Lambda}$ 作为 $TS$-模的结构。
• 利用归一化完美商 $M = \nu^{-3/2} \otimes \widetilde{\Pi} / \widetilde{\Pi}^S$，将正则 $L$-因子与 $L(s, \mu \otimes M)$ 关联。
• 对诱导表示使用滤过结构，并分析来自 Siegel-Jacquet 模 $J_P(\Pi)$ 的扩张。
• 系统地计算贝塞尔模，应用函子 $\beta_{\rho}$、$\beta^{\rho}$ 与梅林函子 $M_{\rho}$。
• 依赖 Roberts 与 Schmidt 的分类结果（[RS16], [RS07]）以及 [ST94] 中的标准表示，以枚举所有情形。
• 利用单值定理与 $\pi_0(\delta_P^{-1/2} \otimes \widetilde{\Pi})$ 的构成部分，确定模的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 分裂贝塞尔模型的 $\mathrm{GSp}(4)$ 表示的皮亚特斯基-夏皮罗 $L$-因子正则部分是什么？
• RQ2 正则 $L$-因子是否与分裂贝塞尔模型的选择无关？
• RQ3 如何对 $\mathrm{GSp}(4,k)$-表示在分裂情形下的贝塞尔模 $\tilde{\Pi}$ 进行分类？
• RQ4 正则 $L$-因子是否与典型表示的诺沃多夫斯基本 $L$-因子一致？
• RQ5 正则 $L$-因子与非极大 cuspidal 表示的朗兰兹参数有何关系？

主要发现

• 正则 $L$-因子 $L^\mathrm{PS}_{\mathrm{reg}}(s,\Pi,\mu,\Lambda)$ 与分裂贝塞尔模型的选择无关，如定理 3.40 所证明。
• 正则 $L$-因子由 $L(s, \mu \otimes M)$ 给出，其中 $M = \nu^{-3/2} \otimes \widetilde{\Pi} / \widetilde{\Pi}^S$ 是贝塞尔模的归一化完美商。
• 表 6 与表 7 分别提供了度数为一与零的归一化贝塞尔模 $\delta_P^{-1/2} \otimes \widetilde{\Pi}$ 的完整分类。
• 对于典型 $\ Pi$，$L^\mathrm{PS}$-因子与诺沃多夫斯基本 $L$-因子 $L^{\mathrm{Nov}}(s,\Pi,\mu)$ 一致，论文中已确认。
• 对于非极大 cuspidal $\ Pi$，$L^\mathrm{PS}(s,1,\Lambda)$-因子与 Roberts 与 Schmidt 分类中关联的朗兰兹参数的 $L$-因子一致。
• 例外因子与分裂贝塞尔模型的选择无关，且已知于 [W17]，从而完成了对完整 $L^\mathrm{PS}$-因子与模型选择无关性的证明。