[论文解读] Regular realizability problems and regular languages

Alexander A. Rubtsov|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2015

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文研究了正则可实现性（RR）问题的算法复杂度，其中目标是判断一个由DFA或NFA给出的正则语言与一个固定的正则过滤语言的交集是否非空。研究建立了二分法：对于确定性RR问题，复杂度取决于过滤语言是否为'简单'（有界）或'困难'（类似全集），分别为L-完全或NL-完全；而对于非确定性RR问题，只要过滤语言非空，其复杂度始终为NL-完全。

ABSTRACT

We investigate regular realizability (RR) problems, which are the problems of verifying whether intersection of a regular language -- the input of the problem -- and fixed language called filter is non-empty. We consider two kind of problems depending on representation of regular language. If a regular language on input is represented by a DFA, then we obtain (deterministic) regular realizability problem and we show that in this case the complexity of regular realizability problem for an arbitrary regular filter is either L-complete or NL-complete. We also show that in case of representation regular language on input by NFA the problem is always NL-complete.

研究动机与目标

• 基于过滤语言的结构，对正则可实现性（RR）问题的算法复杂度进行分类。
• 研究'简单'与'困难'正则过滤语言在计算复杂度上的区别。
• 探讨确定性与非确定性RR问题之间的关系，尤其在L ≠ NL猜想下。
• 建立RR问题与广义非确定性自动机（GNA）之间的联系，提供一种用于分析复杂度的计算模型。
• 确定对于正则过滤语言，RR(F)与RRⁿ(F)的复杂度是否不同，特别是在L ≠ NL的假设下。

提出的方法

• 将确定性与非确定性正则可实现性问题（RR(F)与RRⁿ(F)）定义为：一个由DFA或NFA给出的正则语言与一个固定过滤语言F的交集是否非空。
• 使用对数空间归约来比较不同RR问题的复杂度，引入过滤语言之间支配关系的概念。
• 引入确定性有限状态转移器（DFSTs），通过F₁ ≤dfst F₂定义过滤语言之间的结构关系，其中F₁ = T(F₂)对某个DFST T成立。
• 将'困难'过滤语言表征为可通过DFST模拟任意正则语言的语言，而'简单'过滤语言则为形如u₁*…uk*的有界语言。
• 构建一种广义非确定性自动机（GNA）模型，用于捕捉RR(F)问题，其建议带中包含来自过滤语言F的单词。
• 证明RR(F)可对数空间归约至并自对应GNA所识别的语言，从而确立两者在复杂度上的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于正则过滤语言F，确定性正则可实现性问题RR(F)的算法复杂度是什么？
• RQ2 RR(F)的复杂度如何依赖于过滤语言F的结构性质，如有界性或全集性？
• RQ3 是否存在RR(F)与RRⁿ(F)在正则过滤语言下的复杂度分离，特别是在L ≠ NL猜想下？
• RQ4 过滤语言之间的支配关系能否通过确定性有限状态转移来表征？
• RQ5 广义非确定性自动机（GNA）在建模与分析RR问题中起什么作用？

主要发现

• 对于任意正则过滤语言F，确定性正则可实现性问题RR(F)要么为L-完全，要么为NL-完全。
• 正则过滤语言F为'简单'（即有界，形式为u₁*…uk*）当且仅当RR(F)属于L；F为'困难'（即能通过DFST模拟任意正则语言）当且仅当RR(F)为NL-完全。
• 对于每个非空正则过滤语言F，非确定性正则可实现性问题RRⁿ(F)始终为NL-完全，与过滤语言的结构无关。
• 若F为简单过滤语言，则在假设L ≠ NL下，RR(F)与RRⁿ(F)不具有对数空间等价性，表明两类问题之间存在严格分离。
• 广义非确定性自动机（GNA）模型为RR(F)提供了对数空间等价的刻画，使得可通过自动机理论技术进行复杂度分析。
• 使用DFSTs可对过滤语言的支配关系进行结构化表征，其中F₁ ≤dfst F₂意味着RR(F₁) ≤log RR(F₂)，从而实现不同过滤语言间复杂度的比较。