[论文解读] Regular representations of vertex operator algebras, I

Haisheng Li|ArXiv.org|Aug 19, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文从顶点算子代数 $V$ 的模 $W$ 和复数 $z$ 构造了一个典范的弱 $V \otimes V$-模 ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$，建立了类型为 ${W' \choose W_1 W_2}$ 的交织算子与 $V \otimes V$-同态从 $W_1 \otimes W_2$ 到 ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ 之间的一一对应关系。其关键贡献是在 $W = V$ 时，对正则表示 ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$ 获得了类似 Peter-Weyl 的分解，为 VOAs 中的交织算子提供了结构性框架。

ABSTRACT

In this paper, given a module $W$ for a vertex operator algebra $V$ and a nonzero complex number $z$ we construct a canonical (weak) $V\otimes V$-module ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ (a subspace of $W^{*}$ depending on $z$). We prove that for $V$-modules $W, W_{1}$ and $W_{2}$, a $P(z)$-intertwining map of type ${W'\choose W_{1}W_{2}}$ ([H3], [HL0-3]) exactly amounts to a $V\otimes V$-homomorphism from $W_{1}\otimes W_{2}$ into ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$. Using Huang and Lepowsky's one-to-one linear correspondence between the space of intertwining operators and the space of $P(z)$-intertwining maps of the same type we obtain a canonical linear isomorphism from the space ${\cal{V}}^{W'}_{W_{1}W_{2}}$ of intertwining operators of the indicated type to $\Hom_{V\otimes V}(W_{1}\otimes W_{2},{\cal{D}}_{P(z)}(W))$. In the case that $W=V$, we obtain a decomposition of Peter-Weyl type for ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$, which are what we call the regular representations of $V$.

研究动机与目标

• 建立从 $V$-模和复参数 $z$ 构造 $V \otimes V$-模的典范方法。
• 提供一个范畴论框架，将交织算子与 $V \otimes V$-同态联系起来。
• 通过几何的 $P(z)$-通道构造，推广交织算子的理论。
• 在 $W = V$ 时，推导出正则表示 ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$ 的类似 Peter-Weyl 的分解。

提出的方法

• 将模 ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ 定义为对偶空间 $W^*$ 的子空间，参数化于 $z \in \mathbb{C}^\times$。
• 利用 Huang 和 Lepowsky 的线性对应关系，将交织算子空间与 $P(z)$-交织映射空间联系起来。
• 构造从交织算子空间 ${\cal{V}}^{W'}_{W_1 W_2}$ 到 $\Hom_{V \otimes V}(W_1 \otimes W_2, {\cal{D}}_{P(z)}(W))$ 的典范线性同构。
• 证明类型为 ${W' \choose W_1 W_2}$ 的 $P(z)$-交织映射恰好对应于到 ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ 的 $V \otimes V$-同态。
• 分析 ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$ 作为 $V$ 的正则表示的结构，导出类似于 Peter-Weyl 理论的分解。
• 将理论应用于 $W = V$ 的情形，得到正则表示分解为不可约分量的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从 $V$-模和复参数 $z$ 构造 $V \otimes V$-模？
• RQ2 $P(z)$-交织映射与 $V \otimes V$-同态之间的确切关系是什么？
• RQ3 交织算子的空间能否被典范地识别为 $V \otimes V$-模同态的空间？
• RQ4 正则表示 ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$ 中出现了何种结构性分解？
• RQ5 该构造是否为 $V$ 的正则表示提供了类似 Peter-Weyl 的分解？

主要发现

• 对于任意 $V$-模 $W$ 和 $z \in \mathbb{C}^\times$，构造了一个典范的弱 $V \otimes V$-模 ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$，其为 $W^*$ 的子空间。
• 存在一个典范的线性同构，将类型为 ${W' \choose W_1 W_2}$ 的交织算子空间与从 $W_1 \otimes W_2$ 到 ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ 的 $V \otimes V$-模同态空间对应起来。
• 该构造建立了类型为 ${W' \choose W_1 W_2}$ 的 $P(z)$-交织映射与到 ${\cal{D}}_{P(z)}(W)$ 的 $V \otimes V$-同态之间的一一对应关系。
• 当 $W = V$ 时，模 ${\cal{D}}_{P(z)}(V)$ 允许一个类似 Peter-Weyl 的分解，表明其为 $V$ 的正则表示。
• 该理论为通过 $V \otimes V$-模中的表示论同态对交织算子进行统一分类提供了框架。
• 结果通过模理论构造，推广并分类了顶点算子代数中交织算子的结构。