[论文解读] Regular Separability of Parikh Automata

Lorenzo Clemente, Wojciech Czerwiński+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

semigroups and automata theory被引用 6

一句话总结

该论文通过将其约化为底层向量集的单变量可分性问题，建立了帕里克自动机（Parikh automata）——即具有半线性接受条件的非确定性有限自动机——的可判定性。关键贡献在于提出了一种通用约化方法，表明若类 $\mathcal{C}$ 关于仿射函数的逆像具有有效封闭性，则 $\mathcal{C}$-帕里克自动机的正则可分性是可判定的。该性质对半线性集和向量加法系统（VAS）的可达性集成立。

ABSTRACT

We investigate a subclass of languages recognized by vector addition systems, namely languages of nondeterministic Parikh automata. While the regularity problem (is the language of a given automaton regular?) is undecidable for this model, we show surprising decidability of the regular separability problem: given two Parikh automata, is there a regular language that contains one of them and is disjoint from the other?

研究动机与目标

• 研究由帕里克自动机识别的语言的正则可分性问题，帕里克自动机是向量加法系统（VAS）语言的一个子类。
• 解决该类语言正则性问题不可判定所带来的挑战，使得正则可分性成为非正则类中罕见的可判定性质。
• 将先前关于 VAS 可达性集单变量可分性的结果，推广到帕里克自动机更广泛的正则可分性设置中。
• 为 $\mathcal{C}$-帕里克自动机中的正则可分性提供一个通用框架，将其约化为接受类 $\mathcal{C}$ 中的单变量可分性，前提是满足封闭性条件。
• 通过有效封闭性性质，为两个关键类建立可判定性：半线性集和 VAS 可达性集的截面。

提出的方法

• 将 $\mathcal{C}$-帕里克自动机的正则可分性问题约化为接受类 $\mathcal{C}$ 的单变量可分性问题。
• 证明：若 $\mathcal{C}$ 关于仿射函数的逆像具有有效封闭性，则 $\mathcal{C}$-帕里克自动机的正则可分性是可判定的。
• 利用半线性集和 VAS 可达性集（及其截面）关于仿射映射逆像的有效封闭性。
• 通过投影、交集和投影的逆像的封闭性，建立 $\mathcal{C}_{\text{SEC-VAS}}$ 的鲁棒性。
• 应用已知的关于半线性集和 VAS 可达性集单变量可分性的可判定性结果，推导出主要的可判定性结论。
• 构建维度扩展的辅助 VAS，以模拟投影和截面，确保对投影的有效封闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管该类的正则性问题不可判定，帕里克自动机的正则可分性问题是否可判定？
• RQ2 能否将 $\mathcal{C}$-帕里克自动机的正则可分性问题约化为接受类 $\mathcal{C}$ 上的更简单可分性问题？
• RQ3 半线性集或 VAS 可达性集（及其截面）是否满足约化所要求的封闭性条件？
• RQ4 半线性集和 VAS 可达性集的单变量可分性是否可判定，且能否由此推断正则可分性的可判定性？
• RQ5 能否为 $\mathcal{C}_{\text{SEC-VAS}}$（即 VAS 可达性集的截面类）建立对仿射函数逆像的有效封闭性？

主要发现

• 即使该类的正则性问题不可判定，非确定性帕里克自动机的正则可分性问题仍是可判定的。
• 若 $\mathcal{C}$ 关于仿射函数的逆像具有有效封闭性，则 $\mathcal{C}$-帕里克自动机的正则可分性可判定性可约化为 $\mathcal{C}$ 的单变量可分性可判定性。
• 半线性集类关于仿射函数的逆像具有有效封闭性，这是通过其在布尔组合、像和投影逆像下的封闭性所证明的。
• $\mathcal{C}_{\text{SEC-VAS}}$（即 VAS 可达性集的截面类）关于仿射函数的逆像具有有效封闭性，这是由于其在交集、投影和投影逆像下的封闭性。
• 半线性集的单变量可分性是可判定的，如先前工作 [3] 所建立；$\mathcal{C}_{\text{SEC-VAS}}$ 的单变量可分性也是可判定的，如 [4] 所示。
• 因此，$\mathcal{C}_{\text{SEC-VAS}}$-帕里克自动机的正则可分性是可判定的，该结果扩展到了超越半线性集的更广泛语言类。