[论文解读] Regular Separability of Well Structured Transition Systems

Wojciech Czerwiński, Sławomir Lasota+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文在较弱假设下证明了任意两个不相交的良结构转换系统（WSTS）语言均可被正则语言分离——具体而言，对于向上兼容的WSTS要求有限分支，对于向下兼容的WSTS要求确定性。核心贡献是一个通用的可判定性结果：正则分离在所有实际相关的WSTS类别中均可判定，包括Petri网和丢失信道系统，且对Petri网给出了紧致的复杂度界。

ABSTRACT

We investigate the languages recognized by well-structured transition systems (WSTS) with upward and downward compatibility. Our first result shows that, under very mild assumptions, every two disjoint WSTS languages are regular separable: There is a regular language containing one of them and being disjoint from the other. As a consequence, if a language as well as its complement are both recognized by WSTS, then they are necessarily regular. In particular, no subclass of WSTS languages beyond the regular languages is closed under complement. Our second result shows that for Petri nets, the complexity of the backwards coverability algorithm yields a bound on the size of the regular separator. We complement it by a lower bound construction.

研究动机与目标

• 该论文旨在确定两个不相交的WSTS语言是否可被正则语言分离。
• 研究在何种条件下WSTS框架中的正则分离性成为可判定问题。
• 目标包括推导Petri网中正则分离器的复杂度界。
• 旨在通过归纳不变量将形式语言理论与验证技术联系起来。
• 该工作旨在统一验证中的概念（归纳不变量）与语言理论中的概念（正则分离性）。

提出的方法

• 作者将产品系统的归纳不变量与正则分离器联系起来，证明任何有限表示的不变量均可导出一个正则分离器。
• 他们利用格论中的理想完备化方法，对WSTS中的归纳不变量进行有限表示。
• 对于Petri网，他们利用向后可覆盖性算法，构建可覆盖集的有限表示。
• 他们提出一种变换，用于在底层序为ω²-wqo时对非确定性WSTS进行确定化。
• 他们为确定性Petri网构造了一个双指数大小的NFA分离器，并通过重标记和同态方法将其扩展至非确定性情形。
• 他们通过基于特定后缀约束语言的最小DFA大小的构造，证明了确定性有限自动机（DFA）分离器的三重指数下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个不相交的WSTS语言是正则可分离的？
• RQ2 产品系统中的归纳不变量能否用于构造正则分离器？
• RQ3 Petri网中正则分离器的复杂度如何？其与确定性的关系如何？
• RQ4 有限分支或确定性假设是否对WSTS中的正则分离性是必要的？
• RQ5 Petri网中正则分离器的最紧致复杂度界是什么，特别是对于DFA？

主要发现

• 若一个WSTS语言是有限分支的（向上兼容）或确定性的（向下兼容），则任意两个不相交的WSTS语言均可被正则语言分离。
• 对于确定性Petri网，可在双指数时间复杂度内构造出大小为两网大小之和的正则分离器。
• 对于一般Petri网，正则分离器可表示为大小为三重指数的NFA。
• 对于不相交的Petri网，任何DFA分离器的大小均存在三重指数下界。
• 该结果意味着，除了正则语言外，WSTS语言的任何子类都不对补集封闭。
• 向后可覆盖性算法可生成可覆盖集的有限表示，该表示可用于构造最优大小的正则分离器。