[论文解读] Regular sequences of power sums and complete symmetric polynomials

Neeraj Kumar, Ivan Martino|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Advanced Mathematical Theories被引用 5

一句话总结

本文研究了三项与四项变量多项式环中幂和与完全对称多项式的正规序列。证明了当 $ m < n-1 $ 时，连续的幂和 $ p_a, p_{a+1}, \dots, p_{a+m-1} $ 构成正规序列，并给出了在四项变量中 $ p_a, p_b, p_c $ 构成正规序列的条件。主要贡献在于对 Conca、Krattenthaler 和 Watanabe 的关于 $ (p_a, p_b) $ 的素性猜想提出支持，包括特例和计算证据。

ABSTRACT

In this article, we carry out the investigation for regular sequences of symmetric polynomials in the polynomial ring in three and four variable. Any two power sum element in $\mathbb{C}[x_1,x_2,...,x_n]$ for $n \geq 3$ always form a regular sequence and we state the conjecture when $p_a,p_b,p_c$ for given positive integers $a<b></b>

研究动机与目标

• 刻画三项与四项变量多项式环中对称多项式（特别是幂和与完全齐次对称多项式）的正规序列。
• 研究在 $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ 中三个幂和 $ p_a, p_b, p_c $ 何时构成正规序列，扩展已知的成对结果。
• 为 Conca、Krattenthaler 和 Watanabe 关于对称多项式正规序列的猜想提供证据。
• 建立当 $ m < n-1 $ 时，连续幂和序列 $ p_a, p_{a+1}, \dots, p_{a+m-1} $ 构成正规序列的条件。
• 利用 Hilbert 系列与牛顿恒等式验证由对称多项式生成的理想之正规性与素性。

提出的方法

• 使用 Hilbert 系列准则：序列 $ f_1, \dots, f_k $ 为正规序列当且仅当 $ H_{S/I}(z) = \frac{\prod_{i=1}^k (1 - z^{d_i})}{(1 - z)^n} $，其中 $ d_i = \deg f_i $。
• 应用定理 2.2：在三项变量中，$ f_i, f_j, f_k $ 为正规序列当且仅当 $ f_k \notin (f_i, f_j) $ 且系统具有重数 $ i+j+k $。
• 运用牛顿恒等式将幂和 $ p_m $、初等对称多项式 $ e_m $ 与完全齐次对称多项式 $ h_m $ 相关联。
• 使用 Serre 的正规性准则证明某些理想（如 $ (p_1, p_{2m}) $）在 $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ 中为素理想。
• 通过 CoCoA 进行计算验证，测试理想 $ (p_a, p_b) $ 的素性，从而得出关于 $ a, b $ 的猜想条件。
• 分析 $ p_n $ 模 $ (p_1, p_2, p_3) $ 与 $ (p_1, p_2, p_4) $ 的像，表明其在 $ n $ 不同时为零或等于 $ e_4 $ 或 $ e_3 $ 的幂。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，当 $ a < b < c $ 时，幂和 $ p_a, p_b, p_c $ 在 $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ 中构成正规序列？
• RQ2 在什么条件下，由两个幂和生成的理想 $ (p_a, p_b) $ 在 $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ 中为素理想？
• RQ3 对于哪些 $ n $，序列 $ p_1, p_2, p_3, p_n $ 在 $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ 中为正规序列？
• RQ4 在什么条件下，序列 $ h_1, h_2, h_4, h_n $ 在 $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ 中为正规序列？
• RQ5 Conca、Krattenthaler 和 Watanabe 关于对称多项式正规序列的猜想中的条件，是否可在低维情形下被验证或推广？

主要发现

• 当 $ m < n - 1 $ 时，任意连续幂和序列 $ p_a, p_{a+1}, \dots, p_{a+m-1} $ 在 $ \mathbb{C}[x_1,\dots,x_n] $ 中构成正规序列。
• 序列 $ p_1, p_2, p_3, p_n $ 为正规序列当且仅当 $ n = 4k $，该结论通过 Hilbert 系列与模 $ (p_1, p_2, p_3) $ 的模约化方法得出。
• 序列 $ p_1, p_2, p_4, p_n $ 为正规序列当且仅当 $ n = 3k $，依据 $ p_n $ 模 $ (p_1, p_2, p_4) $ 的像。
• $ (p_1, p_{2m}) $ 在 $ \mathbb{C}[x_1,x_2,x_3,x_4] $ 中为素理想，对所有 $ m \in \mathbb{N} $ 成立，支持了关于此类理想素性的更广泛猜想。
• 序列 $ h_1, h_2, h_3, h_n $ 为正规序列当且仅当 $ n = 4k $，且 $ h_n $ 模 $ (h_1, h_2, h_3) $ 同余于 $ (-1)^k e_4^k $。
• 序列 $ h_2, h_3, h_4, h_n $ 为正规序列当且仅当 $ n = 5k $ 或 $ n = 5k+1 $，该结论由 $ h_n $ 模 $ (h_2, h_3, h_4) $ 的像确定。