[论文解读] Regular trees in random regular graphs

Eran Makover, Jeffrey McGowan|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文研究了在以给定顶点为根的随机 d-正则图中，所能嵌入的最大 d-正则树的大小。通过配置模型和概率分析，证明该树的半径以高概率（almost surely）为 (1/2 + o(1)) log_{d-1} n，从而导出高斯超几何函数的渐近估计：₂F₁(1, 1−n; (1−dn)/2; d/2) ∝ √n 当 n → ∞。

ABSTRACT

We investigate the size of the embedded regular tree rooted at a vertex in a $d$ regular random graph. We show that almost always, the radius of this tree will be ${1/2}\log n$, where $n$ is the number of vertices in the graph. And we give an asymptotic estimate for Gauss' Hypergeometric Function.

研究动机与目标

• 确定随机 d-正则图中以某顶点为根的最大的 d-正则树的典型大小。
• 通过分析根正则树的增长，理解随机正则图的局部结构。
• 推导由树大小分布导出的高斯超几何函数特定实例的渐近估计。
• 通过随机正则图中的概率方法，建立图论性质与特殊函数之间的联系。

提出的方法

• 使用配置模型生成随机 d-正则图，为分析方便允许自环和多重边。
• 从根顶点开始逐层构建根 d-正则树，通过暴露各层中的半边来模拟径向生长。
• 采用递归概率模型：P(X ≥ k) = ∏_{i=1}^{k-1} (dn − id)/(dn − (2i − 1))，追踪树达到至少大小 k 的概率。
• 应用斯特林公式对 P(X ≥ k) 的乘积形式进行渐近分析，其中 k = n^ρ。
• 评估当 n → ∞ 时渐近表达式的极限，区分 ρ < 1/2、ρ = 1/2 和 ρ > 1/2 三种情况。
• 通过恒等式 E(X) = ∑_{k=1}^n P(X ≥ k) 将期望大小 E(X) 与超几何函数 ₂F₁(1, 1−n; (1−dn)/2; d/2) 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机 d-正则图中，以某顶点为根的最大 d-正则树的典型半径是多少？
• RQ2 嵌入的 d-正则树的大小如何随 n 增长，其饱和速率如何？
• RQ3 当 n → ∞ 时，超几何函数 ₂F₁(1, 1−n; (1−dn)/2; d/2) 的渐近行为是什么？
• RQ4 配置模型在分析随机正则图中局部树结构方面起到什么作用？
• RQ5 随机正则图的局部结构在多大程度上类似于 d-正则树，以及在何时会偏离？

主要发现

• 在随机 d-正则图中，以某顶点为根的最大 d-正则树的半径以高概率为 (1/2 + o(1)) log_{d−1} n。
• 当 ρ < 1/2 时，P(X ≥ n^ρ) → 1 当 n → ∞，表明树的大小以高概率超过 n^ρ。
• 当 ρ > 1/2 时，P(X ≥ n^ρ) → 0 当 n → ∞，表明树的大小不太可能超过 n^ρ。
• 当树大小 X 按 √n 缩放后，其分布收敛到一个非退化极限，其尾概率为 1 − F(x) = exp(−x²(d−2)/(2d))。
• 期望大小 E(X) 等于超几何函数 ₂F₁(1, 1−n; (1−dn)/2; d/2)，当 n → ∞ 时其渐近行为为 √n，对所有固定的 d 成立。
• 该结果为高斯超几何函数的一个非标准实例提供了新的渐近估计，填补了现有渐近结果中的空白。