[论文解读] Regular variation in the branching random walk

Alexander Iksanov, Sergey Polotskiy|ArXiv.org|Apr 20, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文在较弱的矩条件及假设 $W_1$ 尾部服从正则变体的前提下，建立了超临界分支随机游走中各类泛函的尾部概率——如最大泛函 $W^*$、平方泛函 $S$、$L_1$ 极限 $W$，以及绝对鞅差分上确界 $Δ$——在无穷远处也表现出相同指数的正则变体。证明过程为非解析方法，避免使用拉普拉斯-史蒂尔杰斯变换，并提供了两种不同的方法来研究 $W$ 的尾部行为。该结果证实了在该框架下，关键鞅泛函之间尾部正则变体等价性的猜想。

ABSTRACT

Let $\{\mm_n, n=0,1,...\}$ be the supercritical branching random walk starting with one initial ancestor located at the origin of the real line. For $n=0,1,...$ let $W_n$ be the moment generating function of $\mm_n$ normalized by its mean. Denote by $AW_n$ any of the following random variables: maximal function, square function, $L_1$ and a.s. limit $W$, $\su |W-W_n|$, $\su |W_{n+1}-W_n|$. Under mild moment restrictions and the assumption that $ P\{W_1>x\}$ regularly varies at $\infty$ it is proved that $ P\{AW_n>x\}$ regularly varies at $\infty$ with the same exponent. All the proofs given are non-analytic in the sense that these do not use Laplace-Stieltjes transforms. The result on the tail behaviour of $W$ is established in two distinct ways.

研究动机与目标

• 研究超临界分支随机游走中关键鞅泛函——最大值、平方、$L_1$ 极限及差分上确界——的尾部行为。
• 建立若 $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ 在无穷远处具有正则变体，则 $W^*$、$S$、$W$ 和 $Δ$ 的尾部分布也以相同指数具有正则变体的结论。
• 提供两种非解析证明（避免使用拉普拉斯-史蒂尔杰斯变换）来研究 $\mathbb{P}\{W > x\}$ 的正则变体，增强结果的稳健性。
• 证实关于非负鞅在分支随机游走框架下，不同泛函之间尾部正则变体等价性的猜想。

提出的方法

• 作者定义从原点单个祖先出发的分支随机游走 $\{\mathcal{M}_n\}$，其位置通过独立复制点过程 $\mathcal{M}$ 演化。
• 他们构造非负鞅 $W_n = m(\gamma)^{-n} \int e^{\gamma x} \mathcal{M}_n(dx)$，通过其期望进行归一化，并定义相关泛函：$W^* = \sup_n W_n$，$S = (1 + \sum d_k^2)^{1/2}$，$\Delta = \sup_n |d_n|$，$W = \lim W_n$，以及 $M = \sup_n |W - W_n|$。
• 分析基于矩条件，并假设 $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ 在无穷远处以指数 $-\beta$（$\beta > 0$）具有正则变体，即 $\mathbb{P}\{W_1 > x\} \sim x^{-\beta} L(x)$，其中 $L$ 为慢变函数。
• 证明避免使用拉普拉斯-史蒂尔杰斯变换，转而采用路径相关与概率论论证，包括对 $\beta$ 的归纳法以及控制独立同分布随机变量和的矩的 $c_\beta$-不等式。
• 作者使用伯克霍尔德-冈德伊-戴维斯不等式及相关分布不等式，将 $W^*$、$S$ 和 $W$ 的尾部分布行为联系起来，利用已知的鞅不等式。
• 针对 $\mathbb{P}\{W > x\}$ 的正则变体提供了两种独立证明：一种基于矩估计，另一种基于路径耦合与最大不等式技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 若 $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ 具有正则变体，是否意味着 $\mathbb{P}\{W^* > x\}$ 也以相同指数具有正则变体？
• RQ2 平方泛函 $S$、$L_1$ 极限 $W$ 及鞅差分上确界 $Δ$ 的尾部分布是否也以与 $W_1$ 相同的指数具有正则变体？
• RQ3 是否可以不使用拉普拉斯-史蒂尔杰斯变换来建立 $\mathbb{P}\{W > x\}$ 的正则变体？
• RQ4 是否存在超临界分支随机游走中极限 $W$ 尾部行为的非解析证明？
• RQ5 在 $W_1$ 尾部具有正则变体的条件下，不同鞅泛函——$W^*$、$S$、$W$、$Δ$、$M$——的尾部行为在渐近意义上有多大的等价性？

主要发现

• 若 $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ 在无穷远处以指数 $-\beta$ 具有正则变体，则在较弱矩条件下，$\mathbb{P}\{W^* > x\}$、$\mathbb{P}\{S > x\}$、$\mathbb{P}\{W > x\}$、$\mathbb{P}\{\Delta > x\}$ 及 $\mathbb{P}\{M > x\}$ 均以相同指数 $-\beta$ 具有正则变体。
• 即使 $\mathbb{E}W_1^\beta = \infty$，只要 $\mathbb{P}\{W_1 > x\} \sim x^{-\beta}L(x)$ 对某个 $\beta > 0$ 及慢变函数 $L$ 成立，结论依然成立。
• 证明避免使用拉普拉斯-史蒂尔杰斯变换，转而依赖概率论与矩相关论证，包括 $c_\beta$-不等式及对 $\beta$ 的归纳法。
• 针对 $\mathbb{P}\{W > x\}$ 的正则变体提供了两种独立证明：一种基于矩估计，另一种基于路径耦合与最大不等式技术。
• 证明表明 $W$ 的分布是平滑变换的不动点，其中 $X_i = Y_u$ 对 $|u|=1$ 成立，且该结果可推广至具有有限均值的此类不动点。
• 在 $\mathbb{E}W_1^\beta < \infty$ 的情况下，若 $\mathbb{P}\{W_1 > x\} \sim x^{-\beta}L(x)$，则在给定条件下有 $\mathbb{P}\{W > x\} \sim c x^{-\beta}L(x)$，其中 $c > 0$ 为某常数。