[论文解读] Regularity and approximation analyses of nonlocal variational equality and inequality problems

Olena Burkovska, Max Gunzburger|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Numerical methods in engineering参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文通过非局部向量微积分方法，研究了具有截断分数阶拉普拉斯核的非局部变分等式与变分不等式问题，建立了最优的索博列夫正则性，并推导出先验有限元误差估计。证明了能量范数下收敛率为 $O(h^{0.5})$，$L^2$ 范数下收敛率为 $O(h)$，并通过数值实验验证了理论结果。

ABSTRACT

We consider linear and obstacle problems driven by a nonlocal integral operator, for which nonlocal interactions are restricted to a ball of finite radius. These type of operators are used to model anomalous diffusion and, for a special choice of the integral kernels, reduce to the fractional Laplace operator on a bounded domain. By means of a nonlocal vector calculus we recast the problems in a weak form, leading to corresponding nonlocal variational equality and inequality problems. We prove optimal regularity results for both problems, including a higher regularity of the solution and the Lagrange multiplier. Based on the regularity results, we analyze the convergence of finite element approximations for a linear problem and illustrate the theoretical findings by numerical results.

研究动机与目标

• 将现有分数阶拉普拉斯问题的正则性理论扩展至具有有限作用范围（截断核）的非局部算子。
• 为非局部变分等式与不等式问题中的解与拉格朗日乘子建立改进的索博列夫正则性。
• 为线性与障碍型非局部问题开发并分析一致的有限元离散化方法。
• 为线性问题推导先验误差估计并进行数值验证。
• 通过填补截断核正则性结果的空白，为非局部有限元方法的误差分析提供基础。

提出的方法

• 采用非局部向量微积分框架表述非局部问题，将强形式重铸为弱变分形式。
• 使用与分数阶拉普拉斯相关的截断核 $ ilde{ ho}_ ho$，其中相互作用被限制在半径为 $ ho$ 的球体内。
• 应用霍尔曼德（Hörmander）理论的结果，并估计截断误差，将无限作用范围情况下的正则性结果推广至有限作用范围情况。
• 通过稳定性与一致性的分析，推导出线性有限元逼近在能量范数与 $L^2$ 范数下的先验误差估计。
• 通过使用制造解与在 $h = 2^{-12}$ 的精细网格上生成的参考解，数值验证收敛率。
• 将相同的有限元方法应用于非局部障碍问题，并报告能量误差与 $L^2$ 误差的收敛行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有截断分数阶拉普拉斯核的非局部线性问题的解的最优索博列夫正则性是什么？
• RQ2 非局部障碍问题中拉格朗日乘子的正则性如何依赖于核函数与数据的正则性？
• RQ3 非局部变分问题的有限元逼近在理论上与数值上可达到的收敛率是多少？
• RQ4 截断核的正则性与收敛性结果与完整分数阶拉普拉斯算子的结果相比如何？
• RQ5 非局部障碍问题的收敛阶是否与线性问题相同？

主要发现

• 当数据属于 $L^2(ar{ ho})$ 时，非局部线性问题的解在能量空间中表现出最优的 $H^{s+1}$ 正则性，扩展了无限作用范围情况下的结果。
• 在适当假设下，非局部障碍问题中的拉格朗日乘子相比解额外具有 $s$ 阶正则性。
• 对于线性问题，有限元逼近在能量范数下收敛率为 $O(h^{0.5})$，在 $L^2$ 范数下收敛率为 $O(h)$，与理论预测一致。
• 数值结果在 $s \to 0.1$ 到 $0.75$ 的不同取值下均确认了理论收敛率，能量误差率接近 $0.5$，$L^2$ 误差率接近 $1.0$。
• 对于非局部障碍问题，有限元方法实现了相似的收敛阶：能量范数下为 $O(h^{0.5})$，$L^2$ 范数下为 $O(h)$，表明具有类似的收敛行为。
• 在不同 $s$ 与 $ ho$ 下，收敛行为均表现稳健，线性问题与变分不等式问题中均观察到一致的收敛率。