[论文解读] Regularity and Green's relations for the semigroup of partial contractions of a finite chain

Bulama Ali, Abdullahi Umar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

semigroups and automata theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文建立了有限链上部分收缩半群 $\mathcal{CP}_n$ 中正则性的必要且充分条件，并完全刻画了该半群上的五种格林关系（$\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{D}, \mathcal{H}, \mathcal{J}$）。主要贡献在于通过核划分和像集，以代数方式完整描述了格林关系，明确涉及平移、反射以及细化划分的可接受横截。

ABSTRACT

Let $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ be a finite chain and let $\mathcal{P}_{n}$ be the semigroup of partial transformations on $[n]$. Let $\mathcal{CP}_{n}=\{α\in \mathcal{P}_{n}: (for~all ~x,y\in Dom~α)~|xα-yα|\leq|x-y|\}$, then $\mathcal{CP}_{n}$ is a subsemigroup of $\mathcal{P}_{n}$. In this paper, we give a necessary and sufficient condition for an element in $\mathcal{P}_{n}$ to be regular and characterize all the Green's equivalences on the semigroup $\mathcal{CP}_{n}$.

研究动机与目标

• 确定 $\mathcal{CP}_n$ 中元素正则性的必要且充分条件。
• 完全刻画半群 $\mathcal{CP}_n$ 上的五种格林关系（$\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{D}, \mathcal{H}, \mathcal{J}$）。
• 通过将其作为特例推导，推广并统一 $\mathcal{CP}_n$ 的子半群（特别是 $\mathcal{OCP}_n$）的格林关系结果。
• 为研究部分收缩半群中的正则性与格林关系提供基础框架。

提出的方法

• 将 $\mathcal{CP}_n$ 定义为在 $[n] = \{1,2,\ldots,n\}$ 上的部分变换的子半群，满足对所有 $x,y \in \text{Dom}(\alpha)$，有 $|x\alpha - y\alpha| \leq |x - y|$。
• 使用核划分 $\textbf{Ker}(\alpha)$ 将定义域分解为等价类，其中元素映射到相同的像。
• 引入可接受横截——从每个核类中选取一个代表元——要求其相对凸，并保持顺序或反射结构。
• 通过核结构的细化划分与像集之间的同构关系，利用横截之间的平移或反射关系建立格林关系。
• 证明 $\alpha \,\mathcal{L}\, \beta$ 当且仅当 $\text{Im}(\alpha) = \text{Im}(\beta)$ 且 $\alpha^{\underline{\text{Ker}}} \beta$（即细化划分之间的收缩）。
• 证明 $\alpha \,\mathcal{R}\, \beta$ 当且仅当 $\text{Ker}(\alpha) = \text{Ker}(\beta)$ 且存在一个平移或反射将像元素 $x_i$ 映射到 $y_i$ 或 $y_{p-i+1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 $\mathcal{CP}_n$ 中元素正则性的必要且充分条件是什么？
• RQ2 格林关系 $\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{D}, \mathcal{H}, \mathcal{J}$ 在 $\mathcal{CP}_n$ 上如何结构化？
• RQ3 $\mathcal{OCP}_n$（保序部分收缩）中的格林关系与 $\mathcal{CP}_n$ 中的关系有何关联？
• RQ4 能否从 $\mathcal{CP}_n$ 的一般刻画中推导出 $\mathcal{OCP}_n$ 的结果作为特例？
• RQ5 可接受横截与细化划分在确定 $\mathcal{CP}_n$ 中格林关系时起什么作用？

主要发现

• 元素 $\alpha \in \mathcal{CP}_n$ 正则当且仅当其像集 $\text{Im}(\alpha)$ 是核划分 $\textbf{Ker}(\alpha)$ 的横截，且该横截相对凸。
• $\alpha \,\mathcal{L}\, \beta$ 成立当且仅当 $\text{Im}(\alpha) = \text{Im}(\beta)$ 且存在从 $\textbf{Ker}(\alpha)$ 和 $\textbf{Ker}(\beta)$ 的细化划分之间的收缩，且对应像元素通过平移或反射关联。
• $\alpha \,\mathcal{R}\, \beta$ 成立当且仅当 $\text{Ker}(\alpha) = \text{Ker}(\beta)$ 且所有块中的像元素通过统一的平移或反射关联。
• $\mathcal{D}$-关系通过细化核划分之间的收缩以及像集之间的平移或反射关系来刻画。
• 当限制在保序元素时，$\mathcal{OCP}_n$ 的结果（如 Zhao 和 Yang [18] 所述）可完全作为 $\mathcal{CP}_n$ 一般刻画的特例恢复。
• $\mathcal{OCP}_n$ 中 $\mathcal{D}$-类的刻画表明：$\alpha \,\mathcal{D}\, \beta$ 当且仅当存在整数 $e$ 使得 $x_i = y_i + e$，这对应于像元素的统一平移。