[论文解读] Regularity and lifespan of small solutions to systems of quasi-linear wave equations with multiple speeds,I: almost global existence

Kunio Hidano|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过引入一种新型加权Sobolev不等式框架，绕过了低正则性情形下$H^1$-$L^p$ Klainerman-Sobolev不等式的缺失，建立了三维和二维多速拟线性波动方程组在小光滑解下的近乎全局存在性。关键结果是在初始数据大小为$\varepsilon$的条件下，解的寿命估计达到$\exp(C\varepsilon^{-1})$量级，且在最小正则性范数下实现。

ABSTRACT

In this paper, we show almost global existence of small solutions to the Cauchy problem for symmetric system of wave equations with quadratic (in 3D) or cubic (in 2D) nonlinear terms and multiple propagation speeds. To measure the size of initial data, we employ a weighted Sobolev norm whose regularity index is the smallest among all the admissible Sobolev norms of integer order. We must overcome the difficulty caused by the absence of the $H^1$-$L^p$ Klainerman-Sobolev type inequality, in order to obtain a required a priori bound in the low-order Sobolev norm. The introduction of good substitutes for this inequality is therefore at the core of this paper. Using the idea of showing the well-known Ladyženskaja inequality, we prove some weighted inequalities, which, together with the generalized Strauss inequality, play a role as the good substitute.

研究动机与目标

• 在三维和二维情形下，为具有多个传播速度的拟线性波动方程组小解建立近乎全局存在性。
• 克服低正则性设定下$H^1$-$L^p$ Klainerman-Sobolev不等式缺失的问题。
• 发展并应用新的加权不等式，作为缺失的Klainerman-Sobolev估计的替代方案。
• 在最小可接受的Sobolev范数（基于$H^3$）下，实现解寿命的先验估计。
• 将经典近乎全局存在性框架扩展至具有多个速度及二次/三次非线性项的系统。

提出的方法

• 引入基于最小正则性指标（$H^3$）的加权Sobolev范数，用于度量初始数据的大小。
• 基于Ladyženskaja方法，发展新的加权不等式，以替代缺失的$H^1$-$L^p$ Klainerman-Sobolev不等式。
• 将这些不等式与广义Strauss不等式结合，以控制导数的点态衰减。
• 应用向量场（$\Gamma^a$）能量估计，以控制高阶导数并保持小量性。
• 基于$N_4(u(t)) \leq 7\varepsilon/4$的有界性，采用延拓论证，将解扩展至局部存在时间之外。
• 通过估计$\tilde{E}_4'(u(t)) \leq C\langle t\rangle^{-1} N_4(u(t)) \tilde{E}_4(u(t))$实现先验控制，从而导出指数寿命。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最小正则性假设下，能否为具有多个速度的拟线性波动方程组小解建立近乎全局存在性？
• RQ2 当标准$H^1$-$L^p$ Klainerman-Sobolev不等式失效时，如何控制小解的寿命？
• RQ3 在低正则性区域中，哪些替代的加权不等式可作为缺失的Klainerman-Sobolev估计的替代？
• RQ4 多速结构在多大程度上影响了解的衰减与正则性？
• RQ5 是否可仅基于$H^3$-基能量界，将局部解的延拓论证扩展至实现近乎全局存在性？

主要发现

• 本文证明了三维具有二次非线性项的系统和二维具有三次非线性项的系统，其小解具有近乎全局存在性。
• 解的寿命下界为$\exp(C\varepsilon^{-1})$，其中$\varepsilon$为初始数据在最小可接受Sobolev范数下的大小。
• 通过Ladyženskaja型论证构造的新一族加权不等式，替代了缺失的$H^1$-$L^p$ Klainerman-Sobolev不等式。
• 广义Strauss不等式与新加权估计联合使用，以控制导数的点态衰减。
• 对所有$t < T_*$，有$a\ priori$界$N_4(u(t)) \leq 7\varepsilon/4$成立；若$\varepsilon \log(1+T_*) < B$，则与$T_*$的定义矛盾，从而强制$T_* = \infty$（近乎全局意义下）。
• 结果在系统的时间平移不变性下具有鲁棒性，并对紧支集$C^\infty$初始数据一致成立。