[论文解读] Regularity and nearness theorems for families of local Lie groups

Tom McGaffey|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文基于非标准分析建立了局部李群族的正则性与邻近性定理，证明了逐点收敛且可微的族在坐标变换下光滑收敛至解析局部李群。关键贡献在于一个非标准正则性结果：S-连续的李群结构在坐标变换后蕴含解析性，通过非标准方法推进了局部版本的希尔伯特第五问题，并引入了映射芽上的一种新颖拓扑。

ABSTRACT

In this work, we prove three types of results with the strategy that, together, the author believes these should imply the local version of Hilbert's Fifth problem. In a separate development, we construct a nontrivial topology for rings of map germs on Euclidean spaces. First, we develop a framework for the theory of (local) nonstandard Lie groups and within that framework prove a nonstandard result that implies that a family of local Lie groups that converge in a pointwise sense must then differentiability converge, up to coordinate change, to an analytic local Lie group, see corollary 6.1. The second result essentially says that a pair of mappings that almost satisfy the properties defining a local Lie group must have a local Lie group nearby, see proposition 7.1. Pairing the above two results, we get the principal standard consequence of the above work, corollary 7.2, which can be roughly described as follows. If we have pointwise equicontinuous family of mapping pairs (potential local Euclidean topological group structures), pointwise approximating a (possibly differentiably unbounded) family of differentiable (suffi- ciently approximate) almost groups, then the original family has, after appropriate coordinate change, a local Lie group as a limit point. The third set of results give nonstandard renditions of equicontinuity criteria for families of differentiable functions, see theorem 9.1. These results are critical in the proofs of the principal results of this thesis as well as the standard interpretations of the main results here. Following this material, we have a long chapter constructing a Hausdorff topology on the ring of real valued map germs on Euclidean space. This topology has good properties with respect to convergence and composition. See the detailed introduction to this chapter for the motivation and description of this topology.

研究动机与目标

• 建立局部李群的非标准框架，以证明正则性与邻近性定理。
• 通过证明逐点等度连续的几乎局部李群族在坐标变换后收敛至解析局部李群，解决希尔伯特第五问题的局部版本。
• 在欧氏空间上实值映射芽的环上构造一个具有良好收敛性与复合性质的豪斯多夫拓扑。
• 为可微函数提供等度连续性准则的非标准等价形式，这对证明主要结果至关重要。
• 证明局部 *李群的伴随映射的 S-连续性可推出其标准部分的解析性。

提出的方法

• 利用非标准分析（NSA）中的转移、饱和与溢出原理，分析局部 *李群及其标准部分。
• 应用 S-正则性与 S-解析性概念，证明 S-连续的群运算在坐标变换后蕴含解析性。
• 使用 *指数映射及其正则性，证明 *李群的标准部分是一个局部李群。
• 在欧氏空间上实值映射芽的环上引入一种新的豪斯多夫拓扑，确保收敛性与复合性的相容性。
• 利用 *若尔当分离定理及拓扑性质的转移，控制芽的像大小并证明包含关系。
• 应用 *μ-指数引理与 *GL(n) 的微分几何，建立伴随映射的 S-连续性，这是证明解析性的关键步骤。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明一族在可微意义下逐点收敛的局部李群，经坐标变换后光滑收敛至解析局部李群？
• RQ2 若两个映射几乎满足局部李群的公理，是否存在一个附近的真正局部李群？
• RQ3 能否形式化并应用非标准等度连续性准则，以证明可微函数族的正则性定理？
• RQ4 在欧氏空间上映射芽的环上是否存在一个豪斯多夫拓扑，使其尊重收敛性与复合性？
• RQ5 在 S-连续性与适当的坐标变换下，能否证明 *李群结构的标准部分是解析的？

主要发现

• 一族在逐点等度连续且逼近可微几乎群的局部李群，在坐标变换后收敛至解析局部李群（推论 7.2）。
• 满足 SC∘ 条件的 σ-局部 *李群的标准部分在某个坐标系下是解析局部李群（定理 6.2）。
• *李群上伴随映射的 S-连续性，意味着该群标准部分的解析性（定理 6.2）。
• 在 ℝⁿ 上实值映射芽的环上构造出一个非平凡的豪斯多夫拓扑，具有良好的收敛性与复合性质（第 10 章）。
• 同胚芽的作用在芽空间上仍为同胚，且其像均匀包含小球，与芽本身无关（命题 10.15）。
• *指数映射是正则的，其微分（即伴随映射）是 S-连续的，这对证明标准部分的解析性至关重要（第 4 节）。