[论文解读] Regularity criteria in weak $L^3$ for 3D incompressible Navier-Stokes equations

Yuwen Luo, Tai‐Peng Tsai|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文在边界弱 $L^3$ 空间中为三维不可压缩纳维-斯托克斯方程的分布解建立了新的正则性准则。证明了若速度 $u$ 在 $L^\frown(0,1;L^{3,\frown}(B_2))$ 中足够小，且压力 $p$ 属于 $L^m(0,1;L^1(B_2))$（$m>2$），则 $u$ 在 $B_1 \times (1/10,1)$ 上有界，将 Kim-Kozono 的稳态结果推广至时间依赖情形，且无需梯度有界性假设。

ABSTRACT

We study the regularity of a distributional solution $(u,p)$ of the 3D incompressible evolution Navier-Stokes equations. Let $B_r$ denote concentric balls in $\mathbb{R}^3$ with radius $r$. We will show that if $p\in L^{m} (0,1; L^1(B_2))$, $m>2$, and if $u$ is sufficiently small in $L^{\infty} (0,1; L^{3,\infty}(B_2))$, without any assumption on its gradient, then $u$ is bounded in $B_1 imes (\frac{1}{10},1)$. It is an endpoint case of the usual Serrin-type regularity criteria, and extends the steady-state result of Kim-Kozono to the time dependent setting. In the appendix we also show some nonendpoint borderline regularity criteria.

研究动机与目标

• 建立三维不可压缩纳维-斯托克斯方程时间依赖分布解的正则性准则。
• 解决弱 $L^3$ 空间中 Serrin 型准则的端点情形，具体为 $L^\frown(0,1;L^{3,\frown})$。
• 消除对 $u$ 梯度有界性的需求，这是与先前弱解结果相比的关键创新点。
• 在压力和速度的假设最小化条件下，将 Kim 和 Kozono 的稳态正则性结果推广至时间依赖情形。

提出的方法

• 证明依赖于 $L^s(0,1;L^q(B_2))$ 中非常弱解的次临界内部正则性准则，其中 $3/q + 2/s < 1$，该准则无需梯度或压力假设。
• 通过截断函数 $\varphi$ 和调和函数 $\eta$ 构造局部化速度 $v = \varphi u + \nabla \eta$，使其满足扰动的纳维-斯托克斯方程。
• 对映射 $\Lambda v = v^0 - \Phi(\tilde{\varphi}u \otimes v)$ 应用不动点论证，其中 $v^0$ 解决线性化系统，$\Phi$ 为奇异积分算子。
• 利用 Young 不等式和 Lorentz 空间估计，控制 $L^sL^{q+\delta}$ 空间中非线性项 $\Phi(\tilde{\varphi}u \otimes v)$（$\delta > 0$ 极小），确保在目标函数空间中存在唯一解。
• 利用 $\|u\|_{L^\frown(0,1;L^{3,\frown}(B_2))}$ 的小性闭合不动点论证，从而获得局部有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否仅通过弱 $L^3$ 中的小性和压力的可积性，即可保证三维纳维-斯托克斯方程分布解的正则性，而无需梯度控制？
• RQ2 当压力属于 $L^m(0,1;L^1)$（$m>2$）时，端点 Serrin 型准则 $u \in L^\frown(0,1;L^{3,\frown})$ 是否蕴含局部有界性？
• RQ3 Kim 和 Kozono 在弱 $L^3$ 空间中的稳态正则性结果能否在最小假设下推广至时间依赖情形？
• RQ4 是否可能在不假设 $u \in L^2(0,1;H^1)$ 或 $u \in L^\frown(0,1;L^2)$ 的条件下实现正则性，从而放松标准弱解的假设？

主要发现

• 存在一个绝对小的通用常数 $\varepsilon_1 > 0$，使得若 $\|u\|_{L^\frown(0,1;L^{3,\frown}(B_2))} \leq \varepsilon_1$ 且 $p \in L^m(0,1;L^1(B_2))$（$m > 2$），则 $u$ 在 $B_1 \times (1/10, 1)$ 上有界。
• $\|u\|_{L^\frown(0,1;L^{3,\frown}(B_2))}$ 的小性足以保证正则性，且阈值 $\varepsilon_1$ 与 $m$ 和 $\|p\|_{L^m(0,1;L^1(B_2))}$ 无关。
• 该结果无需对 $u$ 的梯度作任何假设，这使其与经典 Serrin 型准则相区别。
• 证明在 $L^sL^q$ 和 $L^sL^{q+\delta}$ 空间中采用不动点论证，其中 $3/q + 2/s = 1$，并通过次临界正则性准则建立局部有界性。
• 该方法避免使用基于对偶的热势定义，转而采用基于卷积的 $\Phi$ 算子，从而在 Lorentz 空间中实现更强估计。
• 该结果将 Kim 和 Kozono 在 $L^{3,\frown} \times L^1_{\text{loc}}$ 中的稳态正则性结果推广至时间依赖情形，提供了新的端点正则性准则。