[论文解读] Regularity Criterion to the axially symmetric Navier-Stokes Equations

Dongyi Wei|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文通过证明当初始漩涡分量 $ r u_{\theta} $ 在 $ L^\infty $ 范数下足够小时，或当 $ |r u_{\theta}| \leq |\ln r|^{-3/2} $ 在对称轴附近成立时，轴对称纳维-斯托克斯方程具有全局存在性和光滑性，建立了该方程的新正则性准则。关键结果通过引入一种对数小量条件，改进了先前的准则，从而捕捉到靠近对称轴的行为。

ABSTRACT

Smooth solutions to the axially symmetric Navier-Stokes equations obey the following maximum principle:$\|ru_θ(r,z,t)\|_{L^\infty}\leq\|ru_θ(r,z,0)\|_{L^\infty}.$ We first prove the global regularity of solutions if $\|ru_θ(r,z,0)\|_{L^\infty}$ or $ \|ru_θ(r,z,t)\|_{L^\infty(r\leq r_0)}$ is small compared with certain dimensionless quantity of the initial data. This result improves the one in Zhen Lei and Qi S. Zhang \cite{1}. As a corollary, we also prove the global regularity under the assumption that $|ru_θ(r,z,t)|\leq\ |\ln r|^{-3/2},\ \ \forall\ 0

研究动机与目标

• 在初始漩涡 $ r u_\theta $ 的小量条件更弱的情况下，建立轴对称纳维-斯托克斯方程的全局正则性。
• 通过在对称轴附近引入对数衰减估计，改进现有正则性准则。
• 证明 $ \|r u_\theta\|_{L^\infty(r \leq r_0)} $ 或 $ \|r u_\theta(\cdot,0)\|_{L^\infty} $ 的小量性可推出全局适定性。
• 基于 $ |r u_\theta| \leq |\ln r|^{-3/2} $ 推导出一个精确的条件，确保全局正则性。

提出的方法

• 推导 $ \Gamma = r u_\theta $ 的最大值原理，证明 $ \|\Gamma\|_{L^\infty} \leq \|\Gamma_0\|_{L^\infty} $，从而在时间上控制漩涡分量。
• 引入辅助变量 $ \Omega = \omega_\theta / r $ 和 $ J = \omega_r / r $，以分析轴对称设置下的涡量动力学。
• 构造一个类似李雅普诺夫的泛函 $ A(t) = \|J(t)\|_{L^2}^2 + \frac{1}{2}\varepsilon^{2/3}\|\Omega(t)\|_{L^2}^2 $，以追踪能量衰减并防止爆破。
• 通过函数 $ K(\varepsilon) $ 和 $ K_0(\varepsilon) $ 的新颖对数尺度处理 $ r=0 $ 附近的极小性条件，实现精确估计。
• 应用能量恒等式和微分不等式技术，以有界 $ \|\nabla u(t)\|_{L^2} $，确保全局存在性。
• 通过函数 $ F(A(t)) $ 建立比较论证，以控制 $ A(t) $ 的增长，从而导出 $ \|\Omega(t)\|_{L^2} $ 和 $ \|J(t)\|_{L^2} $ 的一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $ r u_\theta $ 的小量条件下，轴对称纳维-斯托克斯系统保持全局正则性？
• RQ2 当初始数据仅在靠近轴的局部区域较小时，正则性准则能否得到改进？
• RQ3 条件 $ |r u_\theta| \leq |\ln r|^{-3/2} $ 对于小的 $ r $ 是否能保证全局存在性和光滑性？
• RQ4 小量条件的对数尺度如何影响爆破时间与能量估计？
• RQ5 能否将对初始数据的依赖减少为仅依赖于 $ \|\Gamma_0\|_{L^\infty} $，而与空间局域化无关？

主要发现

• 若 $ \|\Gamma\|_{L^\infty(r \leq r_0)} \leq \left(1 + \ln\left(C_0 \max\{M_0^{1/4}, r_0^{-1/2} M_1\} + 1\right)\right)^{-3/2} $，则可建立全局正则性，其中 $ M_0 $ 和 $ M_1 $ 为初始数据的无量纲范数。
• 该准则通过仅依赖于初始 $ L^\infty $ 范数 $ \Gamma_0 $ 的条件，改进了 [10] 的先前结果，条件为 $ \|\Gamma_0\|_{L^\infty} \leq (1 + \ln(C_0 M_0^{1/4} + 1))^{-3/2} $。
• 推论 1.1 证明了当对所有 $ 0 < r \leq \delta_0 \in (0,1/2) $ 有 $ |r u_\theta(r,z,t)| \leq |\ln r|^{-3/2} $ 时，全局正则性成立，这是一个精确的对数衰减条件。
• 证明依赖于一个新泛函 $ F(A(t)) $ 和通过 $ K(\varepsilon) $ 实现的对数尺度，从而能够处理 $ r=0 $ 附近的奇异行为。
• 该方法确保了 $ \|\Omega(t)\|_{L^2} $ 和 $ \|J(t)\|_{L^2} $ 的一致有界性，防止爆破并确认全局存在性。
• 该结果对小扰动具有鲁棒性，并适用于 $ H^2 $ 中初始数据且满足有限 $ \|\Gamma_0\|_{L^\infty} $ 的情形。