[论文解读] Regularity for fully non linear equations with non local drift

Héctor A. Chang Lara|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 5被引用 19

一句话总结

本文建立了具有非局部漂移的完全非线性积分微分方程的 Hölder 正则性，其中核的奇部（漂移）阶在 1 到偶部（扩散）阶之间。通过修改 Aleksandrov-Bakelman-Pucci 估计以处理非对称核和梯度项，作者证明了无需对奇部施加对称性或可积性假设的点估计和 Hölder 正则性，恢复了 $\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$ 作为关键例子。

ABSTRACT

We prove Holder regularity for solutions of non divergence integro-differential equations with non necessarily even kernels. The even/odd decomposition of the kernel can be understood as a sum of a diffusion and a drift term. In our case we assume that such drift have the order smaller than or equal to the diffusion and at least one. For example we can say something about the following equation $Δ^{1/2}u + |Du| = f$. The main step relies in a localized version of the Aleksandrov-Bakelman-Pucci estimate. Our estimates are also uniform as the order of the equation goes to two.

研究动机与目标

• 建立具有非局部漂移的完全非线性积分微分方程的粘性解的 Hölder 正则性。
• 消除以往限制非局部算子正则性理论的核对称性假设。
• 处理非局部漂移与扩散项阶数相同的情形，例如 $\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$。
• 发展一种稳健的 ABP 型估计，以在尺度变换下控制由非对称核引起的梯度项。
• 将 Krylov-Safonov 正则性理论扩展至具有非对称核和非局部漂移的非局部方程。

提出的方法

• 通过构造一个将梯度项影响局部化的障碍函数，将经典的 Krylov-Safonov ABP 估计推广至具有非对称核的非局部算子。
• 引入一种改进的 ABP 估计，将核的奇部（非对称部分）视为扰动，利用一个特殊函数将右端项局部化。
• 采用包含二阶项与非局部项的尺度不变线性算子族，确保在所有尺度下保持一致控制。
• 从 ABP 估计导出离散点估计（通过覆盖论证），以建立上水平集的 $L^\epsilon$ 型衰减。
• 应用标准的振幅减小论证（在 Krylov-Safonov 理论中常见），从点估计推导出 Hölder 正则性。
• 施加最小的结构假设：核的奇部阶为 $\sigma \in [1, \sigma_e]$，其中 $\sigma_e$ 为偶部阶，且不假设对称性或可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当核不具备对称性时，能否为具有非局部漂移的完全非线性积分微分方程建立 Hölder 正则性？
• RQ2 核的偶部与奇部阶之间的相对关系在何种条件下可保证正则性，特别是当两者阶数相等时？
• RQ3 经典的 Krylov-Safonov ABP 估计能否被调整以处理具有非对称核和由非对称核引起的梯度项的非局部算子？
• RQ4 当核的奇部不可积或不对称时，非局部方程的正则性理论在尺度变换下是否依然稳健？
• RQ5 能否在不假设核对称性的前提下，证明方程 $\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$ 的解具有 Hölder 连续性？

主要发现

• 本文建立了一种改进的 Aleksandrov-Bakelman-Pucci 估计，即使核不对称，也能控制非局部漂移项的影响。
• 证明了点估计：对任意非负解 $u$ 满足 $\mathcal{M}^-_{\mathcal{L}}u \leq f$ 在 $B_1$ 内，上水平集 $\{u > t\} \cap B_{1/4}$ 以 $t^{-\varepsilon}$ 速度衰减，其中 $\varepsilon > 0$ 为某绝对常数，常数仅依赖于维数和椭圆性参数。
• 对于 $Iu = f$ 在 $B_1$ 内的粘性解，建立了 Hölder 正则性 $u \in C^\alpha(B_{1/2})$，其中 $\alpha \in (0,1)$ 为绝对常数，范数估计依赖于 $\|u\|_{L^\infty}$、$\|f\|_{L^\infty}$ 和边界数据。
• 对于平移不变方程，在额外假设核梯度满足 $|DK| \leq C|y|^{n+\sigma+1}$ 的条件下，可获得 $C^{1,\alpha}$ 正则性。
• 当方程阶数趋近于 2 时，该理论恢复经典二阶情形，与 Krylov-Safonov 理论保持一致。
• 本文证明了方程 $\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$ 具有 Hölder 连续解，尽管漂移项与扩散项阶数相同，而此前在对称性假设下该结果无法获得。