[论文解读] Regularity for non-local almost minimal boundaries and applications

Michèle Caputo, Nestor Guillen|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 19

一句话总结

该论文通过证明平坦的非局部几乎极小集具有 $C^{1,\rho}$ 正则性，建立了基于分数阶 Sobolev 能量的几乎极小边界之非局部 Almgren-De Giorgi-Tamanini 正则性理论，将经典结果推广至分数阶能量情形。主要贡献在于为非局部几乎极小边界建立了完整的正则性理论，包括在平坦点附近的 $C^{1,\rho}$ 正则性以及奇异集的 $n-2$ 维度估计，方法包括新颖的变分不等式与单调性公式。

ABSTRACT

We introduce a notion of non-local almost minimal boundaries similar to that introduced by Almgren in geometric measure theory. Extending methods developed recently for non-local minimal surfaces we prove that flat non-local almost minimal boundaries are smooth. This can be viewed as a non-local version of the Almgren-De Giorgi-Tamanini regularity theory. The main result has several applications, among these $C^{1,α}$ regularity for sets with prescribed non-local mean curvature in $L^p$ and regularity of solutions to non-local obstacle problems.

研究动机与目标

• 将 Almgren-De Giorgi-Tamanini 正则性理论推广至由分数阶 Sobolev 能量定义的非局部几乎极小边界。
• 为相对于 $H^{s/2}$ 能量泛函几乎极小的集合建立 $C^{1,\rho}$ 正则性。
• 证明此类边界的奇异集的 Hausdorff 维度至多为 $n-2$，与经典结果一致。
• 在非局部几乎极小设定下，发展变分不等式作为 Euler-Lagrange 方程的替代。
• 为非局部平均曲率问题与障碍问题的应用奠定基础。

提出的方法

• 引入非局部能量泛函的 $(J_s, \rho, \delta)$-极小性概念，推广经典几乎极小集。
• 通过非局部 De Giorgi 微分不等式扩展，证明一致体积密度估计，补充离散迭代方法。
• 建立一个变分不等式（定理 5.15），作为几乎极小情形下极小曲面方程的替代。
• 推导部分 Harnack 估计（定理 5.18），以支持通过爆破与紧致性论证改进平坦性。
• 证明能量泛函 $\Phi_E(r)$ 的单调性公式，表明其关于 $r$ 非减，且仅当函数为齐次时导数为零。
• 应用爆破分析与维数约化技术，得出奇异集的 Hausdorff 维度至多为 $n-2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非局部几乎极小边界在平坦点附近具有 $C^{1,\rho}$ 正则性？
• RQ2 经典 Almgren-De Giorgi-Tamanini 正则性理论能否推广至非局部能量泛函？
• RQ3 在缺乏经典 Euler-Lagrange 方程的情形下，何种变分不等式刻画了非局部几乎极小集？
• RQ4 非局部几乎极小边界的奇异集在 Hausdorff 维度上的行为如何？
• RQ5 能量泛函的单调性公式能否用于分类爆破极限并证明正则性？

主要发现

• 若集合 $E$ 在 $B_1$ 中为 $(J_s, \rho, \delta)$-极小，且 $\delta$-平坦，其中 $\delta \leq \delta_0(n,s,\rho)$，则 $\partial E$ 在 $B_{1/2}$ 内为 $C^{1}$。
• 使得 $\partial E$ 不为 $C^1$ 的点集的 Hausdorff 维度至多为 $n-2$。
• 能量泛函 $\Phi_E(r)$ 关于 $r$ 非减，且 $\Phi_E'(r) \geq \frac{1}{r^{n-s}} \int_{\partial B_r^+} z^a (\hat{u}_\nu)^2 dX$，表明其具有单调性。
• 若 $\Phi_E(0) < \Phi_H + \delta_0$ 对某个 $\delta_0 > 0$ 成立，则 $\partial E$ 在原点附近为 $C^{1,\hat{\rho}}$。
• 几乎极小集的爆破极限为极小锥；若锥非半空间，则能量间隙 $\Phi_C \geq \Phi_H + \delta_0$ 成立。
• 对于非局部障碍问题，$\partial E$ 在障碍附近为 $C^{1,\alpha}$，其中 $\alpha < s$。