[论文解读] Regularity for Orlicz phase problems

Sumiya Baasandorj, Sun‐Sig Byun|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 64被引用 6

一句话总结

本文通过一种新颖的尺度不变调和逼近技术，建立了非自治、非一致椭圆型泛函在Orlicz型非标准增长下极小化元的最优正则性条件。在模量系数连续性与增长结构的最优条件下，证明了梯度的霍尔德连续性，并将结果推广至多相及双相情形，实现了最优可积性与正则性阈值。

ABSTRACT

We provide comprehensive regularity results and optimal conditions for a general class of functionals involving Orlicz multi-phase of the type \begin{align} \label{abst:1} v\mapsto \int_Ω F(x,v,Dv)\,dx, \end{align} exhibiting non-standard growth conditions and non-uniformly elliptic properties. The model functional under consideration is given by the Orlicz multi-phase integral \begin{align} \label{abst:2} v\mapsto \int_Ω f(x,v)\left[ G(|Dv|) + \sum\limits_{k=1}^{N}a_k(x)H_{k}(|Dv|) ight]\,dx,\quad N\geqslant 1, \end{align} where $G,H_{k}$ are $N$-functions and $ 0\leqslant a_{k}(\cdot)\in L^{\infty}(Ω) $ with $0 < ν\leqslant f(\cdot) \leqslant L$. Its ellipticity ratio varies according to the geometry of the level sets $\{a_{k}(x)=0\}$ of the modulating coefficient functions $a_{k}(\cdot)$ for every $k\in \{1,\ldots,N\}$. We give a unified treatment to show various regularity results for such multi-phase problems with the coefficient functions $\{a_{k}(\cdot)\}_{k=1}^{N}$ not necessarily Hölder continuous even for a lower level of the regularity. Moreover, assuming that minima of the functional above belong to better spaces such as $C^{0,γ}(Ω)$ or $L^κ(Ω)$ for some $γ\in (0,1)$ and $κ\in (1,\infty]$, we address optimal conditions on nonlinearity for each variant under which we build comprehensive regularity results. On the other hand, since there is a lack of homogeneity properties in the nonlinearity, we consider an appropriate scaling with keeping the structures of the problems under which we apply Harmonic type approximation in the setting varying on the a priori assumption on minima. We believe that the methods and proofs developed in this paper are suitable to build regularity theorems for a larger class of non-autonomous functionals.

研究动机与目标

• 建立一般Orlicz多相泛函极小化元的全面正则性结果，其具有非一致椭圆性与非标准增长。
• 确定系数函数与非线性项的最优条件，以保证梯度的霍尔德连续性，即使系数不具有霍尔德连续性。
• 在统一框架下统一并扩展现有关于(p,q)-双相、边界双相及多相问题的正则性理论。
• 解决Lavrentiev现象问题，确保在非标准增长下最小化问题中不存在间隙。
• 在泛函结构假设最优的条件下，证明更高阶可积性与哈纳克型不等式。

提出的方法

• 提出统一的Orlicz多相泛函框架，形式为 $ \int_\Omega F(x, \upsilon, D\upsilon) \,dx $，其中 $ F(x, z) = G(|z|) + \sum_{k=1}^N a_k(x) H_k(|z|) $，$ G, H_k $ 为N-函数，且 $ a_k \in L^\infty(\Omega) $。
• 应用一种新颖的尺度化程序，在极小化元正则性先验假设下保持泛函的结构特征，从而实现调和逼近的应用。
• 在Musielak-Orlicz-Sobolev空间背景下使用调和型逼近，将极小化元与常系数问题的解进行比较。
• 建立适用于非齐次增长的Sobolev-Poincar\'e不等式与Caccioppoli型不等式，其常数依赖于调制系数的连续性模。
• 采用基于振幅衰减与缩放能量估计的精细迭代论证，推导出梯度的霍尔德连续性。
• 在系数函数连续性模 $ \omega_a, \omega_b $ 的最优假设下，证明更高阶可积性与哈纳克不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于系数函数 $ a_k(\cdot) $ 与N-函数 $ G, H_k $，梯度霍尔德连续性的最优条件是什么？
• RQ2 当系数不具有霍尔德连续性时，如何将正则性理论扩展至非自治、非一致椭圆型泛函的非标准增长情形？
• RQ3 在何种条件下，此类Orlicz多相问题中不会发生Lavrentiev现象？
• RQ4 在最优结构假设下，能否为极小化元建立更高阶可积性与哈纳克型不等式？
• RQ5 在多相问题中，确保梯度正则性的增长比 $ q/p $ 或 $ s/p $ 的精确阈值是什么？

主要发现

• 本文建立了梯度霍尔德连续性的最优条件：若 $ a(\cdot) \in C^{\omega_a}(\Omega) $，且 $ \omega_a $ 为凹函数并在0处趋于0，且满足 $ \limsup_{t \to 0^+} \omega_a(t) \log(1/t) < \infty $，则极小化元的梯度具有霍尔德连续性。
• 在(p,q)-双相情形下，最优条件为 $ q/p \leq 1 + \alpha/n $ 且 $ a(\cdot) \in C^{0,\alpha}(\Omega) $，此条件在Lavrentiev间隙意义下为最优。
• 在边界双相情形 $ \Psi(x,t) = |z|^p + a(x)|z|^p \log(1 + |z|) $ 中，若 $ \omega_a(t) \lesssim t^\alpha $ 对某个 $ \alpha \in (0,1) $ 成立，则霍尔德连续性成立。
• 本文证明：若极小化元 $ u \in L^\kappa(\Omega) $ 对某个 $ \kappa > 1 $，则在最优增长与连续性条件下，对任意 $ \Omega_0 \Subset \Omega $，有 $ u \in C^{0,\gamma}(\Omega_0) $，其中 $ \gamma \in (0,1) $ 依赖于数据。
• 在Musielak-Orlicz设定下，建立了一类新的Sobolev-Poincar\'e不等式，其常数依赖于系数的连续性模。
• 结果被推广至具有多个系数函数 $ a_k(\cdot) $ 的多相问题，证明在类似连续性与增长条件下，相同的正则性阈值依然适用。