[论文解读] Regularity for solutions of non local parabolic equations

Héctor A. Chang Lara, Gonzalo Dávila|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文通过弱抛物型ABP估计与迭代振荡衰减，建立了具有平移不变核的完全非线性非局部抛物方程解的最优H{"o}lder与$C^{1,\beta}$正则性估计。结果在方程阶数趋近经典局部情形（$ \sigma \to 2$）时保持一致，恢复并扩展了非局部设定下的经典正则性理论。

ABSTRACT

We study the regularity of solutions of parabolic fully nonlinear nonlocal equations. We proof Holder regularity in space and time and for translation invariant equations and under different assumptions on the kernels Holder regularity for the spatial derivatives. The proofs rely on a weak parabolic ABP inspired in recent work done by L. Silvestre and the classic ideas of K. Tso and L. Wang. Our results remain uniform as the order of the equation goes to 2 allowing us to understand the non local theory as an extension to the classical one.

研究动机与目标

• 建立完全非线性非局部抛物方程粘性解在空间与时间上的$C^{\alpha}$正则性。
• 在平移不变核假设下，证明空间上的$C^{1,\alpha}$正则性。
• 确保当阶数$\sigma \to 2$时，正则性估计保持一致，从而恢复[10]中的经典结果。
• 发展一种弱抛物型ABP估计，以在非局部设定下实现迭代振荡衰减。

提出的方法

• 通过使用$u$在其凸包$\Gamma$上不显著偏离$\Gamma$的区域集合，覆盖$u$的接触集，从而构建弱抛物型Alexandroff-Bitsadze-Pucci（ABP）估计。
• 通过迭代应用[8]中引理5.1的修改版本，控制凸包$\Gamma$的上界。
• 采用适当的障碍函数控制$\Gamma$的下界，确保其不会下降过快。
• 应用受Wang方法[10]启发的逐点振荡衰减估计，并将其适配至非局部设定。
• 利用增量商$w^{h,k}$与截断函数$\eta^k$对问题进行局部化，并迭代控制H{"o}lder范数。
• 通过涉及极大与极小算子$\mathcal{M}^{\pm}_{\mathcal{L}_1}$的粘性不等式，建立$w^{h,k}$与$w_{1}^{h,k}$的统一有界性，从而得出$C^{1,\alpha}$正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为完全非线性非局部抛物方程的粘性解建立空间与时间上的$C^{\alpha}$正则性？
• RQ2 在平移不变核假设下，空间上的$C^{1,\alpha}$正则性是否成立，且当$\sigma \to 2$时是否保持一致？
• RQ3 能否在非局部设定下构造一种弱抛物型ABP估计，以支持振荡衰减论证？
• RQ4 如何将[10]中的经典正则性理论扩展至非局部情形，并在$\sigma \to 2$时保持一致估计？
• RQ5 极大与极小算子$\mathcal{M}^{\pm}_{\mathcal{L}}$在控制增量商振荡方面起什么作用？

主要发现

• 本文通过弱抛物型ABP估计与振荡衰减，证明了非局部抛物方程解在空间与时间上的$C^{\alpha}$正则性。
• 在平移不变核假设下，作者建立了空间上的$C^{1,\alpha}$正则性，且当$\sigma \to 2$时估计保持一致。
• 弱ABP估计通过使用$u$在$\Gamma$附近不显著偏离的区域集合来覆盖$u$的接触集，依赖于对$\Gamma$上下界的迭代控制。
• 增量商$w^{h,k}$满足涉及$\mathcal{M}^{\pm}_{\mathcal{L}_1}$的粘性不等式，且$w^{h,k}$的统一有界性通过迭代传播，从而得出$C^{1,\alpha}$正则性。
• 该方法在$\sigma \to 2$时产生一致的正则性估计，使得Wang的经典工作[10]中的大多数结果可在非局部设定下被恢复。
• 最终结果确认$u_x$在$B_{1/2} \times [-1/2, 0]$上有界，且通过一次额外的Lipschitz商迭代可进一步获得更高阶正则性。