[论文解读] Regularity in time along the coarse scale flow for the incompressible Euler equations

Philip Isett|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Navier-Stokes equation solutions被引用 4

一句话总结

该论文证明了当速度场在空间上为 $C^{\alpha}$ 且在时间上一致时，不可压缩欧拉方程弱解的粒子轨迹在时间上具有 Hölder 连续性，其指数为 $1/(1-\bar{\alpha})$，前提是 $1/(1-\alpha)$ 不是整数。该结果基于对随流导数和粗尺度流动上泰勒展开的精细化分析，将经典正则性结果推广至临界 Hölder 空间，并阐明了凸积分构造中的约束条件。

ABSTRACT

One of the most remarkable features of known nonstationary solutions to the incompressible Euler equations is the phenomenon known as the Taylor hypothesis, which predicts that coarse scale averages of the velocity carry the fine scale features of the flow. In this work, we develop a time regularity theory for Euler weak solutions based on quantitative expressions of this hypothesis. We assume only that our velocity field is Hölder continuous in the spatial variables, which is well-motivated by problems related to turbulence, but precludes the application of Lagrangian methods or local well-posedness theory. Despite the dramatic lack of well-posedness, we obtain a rich theory of regularity in time for solutions, especially concerning advective derivatives. In particular, any Euler flow of class $v \in L_t^\infty C_x^α$ has continuous advective derivatives of any order less than $\fracα{1-α}$, and every point has a trajectory passing through it that is $C^r$ for all $r < \frac{1}{1-α}$, and one that is $C^\infty$ if $v$ is $C^1$ or $v \in \bigcap_{α< 1} L_t^\infty C_x^α$ has borderline regularity. In a follow up work, we show that all trajectories are of class $C^{1/(1-α)}$ in time whenever $1/(1-α) otin {\mathbb Z}$, whether or not the trajectories are unique.

研究动机与目标

• 在空间正则性假设尽可能弱的条件下，建立不可压缩欧拉方程弱解粒子轨迹的时间正则性。
• 将经典轨迹光滑性结果从 $C^{1,\alpha}$ 解推广至临界的 $C^{\alpha}$ 情况。
• 阐明随流导数和粗尺度流动在限制轨迹和能量分布正则性中的作用。
• 提供时间正则性的定量估计，以支持凸积分构造和 Onsager 猜想。
• 研究能量分布正则性与空间 Hölder 指数 $\alpha$ 之间的紧致性。

提出的方法

• 基于泰勒假设发展时间正则性理论，将细尺度特征建模为由平均速度场携带。
• 通过频率局部化 $P_{\leq k}$ 进行粗尺度流动分解，以分析高阶随流导数。
• 应用一种改进的泰勒展开，余项涉及沿轨迹的 $P_{\leq k}v$ 的迭代时间导数。
• 证明当 $k \to \infty$ 时截断泰勒展开的一致收敛性，从而证明轨迹具有 $C^{1/(1-\alpha)}$ 正则性。
• 依赖于 $C^1$ 函数中弱随流导数与经典随流导数的等价性，以在极限中合理使用经典微积分。
• 通过 [CET94] 和 [IO16] 中的估计，将轨迹的时间正则性与能量分布的正则性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在时间上一致为 $C^{\alpha}$ 空间正则性的弱欧拉解，粒子轨迹的最优时间正则性是什么？
• RQ2 在缺乏唯一性或经典解的情况下，高阶随流导数如何约束轨迹的时间正则性？
• RQ3 凸积分构造中材料导数的界在多大程度上由欧拉方程本身决定，而非构造过程的产物？
• RQ4 当 $\alpha < 1/3$ 时，欧拉流的能量分布是否通常不规则？其是否可能不具备有界变差性？
• RQ5 当 $1/(1-\alpha) \notin \mathbb{Z}$ 时，轨迹的 $C^{1/(1-\alpha)}$ 正则性是否为紧致的？

主要发现

• 当 $1/(1-\alpha)$ 不是整数时，$v \in L_t^\infty C_x^\alpha$ 解的粒子轨迹在时间上属于 $C_t^{1/(1-\alpha)}$ 类。
• 轨迹的时间正则性由空间 Hölder 正则性 $\alpha$ 决定，$C^{1/(1-\alpha)}$ 是在给定假设下的最优正则性类。
• 高阶随流导数的存在性及其改进的正则性在证明中至关重要，并对凸积分方案的设计构成约束。
• 频率 $\lambda \approx 2^k$ 的自然时间尺度约为 $\sim \lambda^{-(1-\alpha)}$，任何旨在实现 $C^\alpha$ 正则性的构造都必须尊重此尺度。
• 当 $\alpha < 1/3$ 时，欧拉流的能量分布预计通常不规则，不具备有界变差性，且在任何区间上均非单调。
• 该结果证实，在正则性低于 $1/3$ 时能量耗散是不稳定的，$1/3$ 是湍流中速度涨落唯一稳定的标度。