[论文解读] Regularity of CR-mappings into Levi-degenerate hypersurfaces

Ilya Kossovskiy, Bernhard Lamel+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文建立了从 $$\mathbb{C}^n$$ 中的严格强伪凸超曲面到 $$\mathbb{C}^{n+1}$$ 中的 Levi 退化的超曲面的 CR-映射的正则性结果，在目标的非退化性假设较弱的条件下，证明此类映射在某个稠密开子集上是实解析的或光滑的。其主要贡献在于为进入 Levi 退化目标的余维一 CR-映射建立了一个光滑且实解析的反射原理，扩展了已知的 Levi 非退化情形下的结果。

ABSTRACT

We provide regularity results for CR-maps between real hypersurfaces in complex spaces of different dimension with a Levi-degenerate target. We address both the real-analytic and the smooth case. Our results allow immediate applications to the study of proper holomorphic maps between Bounded Symmetric Domains.

研究动机与目标

• 将 Schwarz 反射原理推广到当目标为 Levi 退化时，不同维数的实超曲面之间的 CR-映射情形。
• 解决在实解析与光滑范畴下，进入 Levi 退化目标的 CR-映射的正则性问题，其中先前的结果受到限制。
• 在目标超曲面的最小假设下（如全纯非退化性或有限非退化性），建立 CR-映射的通用解析性与光滑性。
• 为研究有界对称域之间的正规全纯映射提供基础工具，这些域自然地以一致 2-非退化超曲面为边界。

提出的方法

• 使用 CR-映射的 $k$-非退化性概念作为分析映射 jet 延拓相关微分系统的核心工具。
• 将隐函数定理应用于由 CR 向量场作用于目标超曲面的定义方程所导出的方程组。
• 对 CR-映射进行归一化，将分量表示为 $\bar{F}$、$L\bar{F}$ 和 $F_{n+1}$ 的形式，从而通过隐函数理论构造全纯延拓。
• 通过分析特征形式的 Lie 导数的消失性来检测非退化性条件，利用行列式理想定义映射在何处不满足 $\ell$-非退化性的点集。
• 利用目标的全纯非退化性与有限非退化性概念来控制 jet 延拓的增长，确保正则性。
• 改编 Mir [Mi1] 的技术，并将其推广至 Levi 退化情形，通过区分 Lie 导数非零与否的情况来处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从严格强伪凸超曲面到 Levi 退化超曲面的 $C^2$ CR-映射能解析地延拓到源的邻域？
• RQ2 在适当的非退化性假设下，CR-映射进入 Levi 退化目标的光滑正则性是否可从 $C^2$ 提升至 $C^\infty$？
• RQ3 是否存在类似于 Levi 非退化情形下已知结果的、关于进入 Levi 退化超曲面的 CR-映射的反射原理？
• RQ4 全纯非退化性与有限非退化性在确保余维一 Levi 退化目标中 CR-映射正则性方面起什么作用？
• RQ5 当目标为一致 2-非退化时，CR-映射的正则性是否能在整个源流形上一致成立？

主要发现

• 若目标 $M'$ 是全纯非退化的，则从实解析严格强伪凸超曲面 $M \subset \mathbb{C}^n$ 到实解析 Levi 退化超曲面 $M' \subset \mathbb{C}^{n+1}$ 的 $C^2$ CR-映射 $F: M \to M'$ 在 $M$ 的某个稠密开子集上是实解析的。
• 若目标 $M'$ 是有限非退化的，则从光滑严格强伪凸超曲面 $M \subset \mathbb{C}^n$ 到光滑 Levi 退化超曲面 $M' \subset \mathbb{C}^{n+1}$ 的 $C^2$ CR-映射 $F: M \to M'$ 在 $M$ 的某个稠密开子集上是光滑的。
• 若目标 $M'$ 是一致 2-非退化，则在实解析（相应地光滑）范畴下，任意 CR-映射 $F: M \to M'$ 在 $M$ 上处处是实解析的（相应地光滑的）。
• 该证明依赖于通过隐函数定理作用于由 CR 向量场导出的方程组，构造出映射分量的全纯延拓 $\Psi$。
• 基于 $\Psi$ 的 Lie 导数非零与否的分类讨论，确保了：要么映射在某个稠密开集上是实解析的，要么若映射处处非解析则导致矛盾。
• 由于 $M'$ 的全纯非退化性，排除了情形 2B（即延拓映射是到目标的双全纯映射），从而保证了解析性在一般位置成立。