[论文解读] Regularity of entropy, geodesic currents and entropy at infinity

Barbara Schapira, Samuel Tapie|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文引入了‘强正递归’（SPR）流形——一类非紧、负曲率的黎曼流形，其在无穷远处的熵与拓扑熵之间存在临界间隙——证明了这些流形支持有限的Bowen-Margulis测度，且在$C^2$度量扰动下测度连续变化。作者通过一种新颖的电流方法，建立了此类扰动下拓扑熵的$C^1$正则性，将Katok-Knieper-Weiss在紧致情形下的结果推广至非紧设置。

ABSTRACT

In this work, we introduce the notion of entropy at infinity, and define a wide class of noncompact manifolds with negative curvature, those which admit a critical gap between entropy at infinity and topological entropy. We call them strongly positively recurrent manifolds (SPR), and provide many examples. We show that dynamically, they behave as compact manifolds. In particular, they admit a finite measure of maximal entropy. Using the point of view of currents at infinity, we show that on these SPR manifolds the topological entropy of the geodesic flow varies in a C 1 -way along (uniformly) C 1 -perturbations of the metric. This result generalizes former work of Katok (1982) and Katok-Knieper-Weiss (1991) in the compact case.

研究动机与目标

• 解决在非紧、负曲率流形中，度量扰动下拓扑熵缺乏正则性结果的问题。
• 定义一类新流形——SPR（强正递归）流形——使得Bowen-Margulis测度在小的$C^2$度量变化下保持有限且连续。
• 将Katok-Knieper-Weiss在紧致情形下对拓扑熵的$C^1$正则性结果推广至非紧流形。
• 利用无穷远处的测地线电流建立熵的变换规则，从而在非紧设置中控制熵的变化。
• 提供一个几何框架，确保在度量扰动下Bowen-Margulis测度的有限性与弱-*连续性。

提出的方法

• 引入‘在无穷远处的熵’概念，以量化流形非紧端对熵的渐近贡献。
• 将SPR流形定义为在无穷远处的熵与拓扑熵之间存在临界间隙的流形，从而保证Bowen-Margulis测度的有限性。
• 利用无穷远处的测地线电流，通过在一致等价度量下视觉边界的标准同构，关联不同度量下测地流的动力行为。
• 利用影子性质和拟测地线技术，建立集合测度在长时间内避开紧致集的统一指数衰减估计。
• 通过Bowen-Margulis测度的乘积结构，控制那些离开并重新进入紧致集的集合的测度，依赖于视觉边界邻域测度的衰减。
• 通过证明在大紧致集邻域外的集合测度在扰动参数$\varepsilon$下一致衰减，从而证明Bowen-Margulis测度在$C^2$度量变化下的弱-*连续性，且该衰减与$\varepsilon$无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将度量扰动下拓扑熵的$C^1$正则性结果，从紧致情形推广至非紧负曲率流形？
• RQ2 何种几何条件可确保在非紧设定下，$C^2$度量变化时Bowen-Margulis测度的有限性与连续性？
• RQ3 如何严格定义‘在无穷远处的熵’并利用其刻画非紧流形上测地流的动力行为？
• RQ4 测地线电流在无穷远处在控制度量扰动下熵的变化中起何作用？
• RQ5 哪些非紧流形具有最大熵的有限测度，并允许在度量形变下熵的光滑变化？

主要发现

• SPR流形类包括有限体积双曲流形、具有谱间隙的几何有限流形以及Schottky积例子，所有这些流形均具有有限的Bowen-Margulis测度。
• 对于SPR流形，Bowen-Margulis测度在一致$C^2$度量扰动下于弱-*拓扑下连续变化。
• 测地流的拓扑熵沿一致$C^2$-扰动的度量变化是$C^1$-光滑的，其导数由公式$\left.\frac{d}{d\lambda}\right|_{\lambda=0}h_{\text{top}}(g_{\lambda}) = -h_{\text{top}}(g_0) \int_{S^{g_0}M} \left.\frac{d}{d\lambda}\right|_{\lambda=0} |v|^{g_\lambda} d\overline{m}_{\text{BM}}^{g_0}(v)$ 给出。
• 在时间$T$内始终避开紧致集$W$的向量集合的测度以$e^{-\beta T}$指数衰减，且该衰减对扰动参数$\varepsilon$一致，从而确保对熵变化的统一控制。
• 证明依赖于对长时间内始终位于紧致集外的向量集合测度的统一指数衰减估计，且衰减速率与$\varepsilon$无关。
• 关键技术步骤是证明$ m_{\text{BM}}^{g_\varepsilon}(S^{g_\varepsilon}(M\setminus W_R)) \leq \alpha $ 对充分大的$R$成立，且对所有$\varepsilon$一致，从而推出测度族的弱-*连续性。