[论文解读] Regularity of Leray-Hopf solutions to Navier-Stokes equations (I)-Critical interior regularity in weak spaces

Jian Zhai|ArXiv.org|Nov 30, 2006

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在弱-L^2(0,T;L^∞(R^3)) 范数下对小量条件成立时，建立了三维不可压缩纳维-斯托克斯方程勒伊-霍夫解的临界正则性。通过引入洛伦茨空间中的新型嵌入不等式，并利用 dyadic 分解与极大函数估计分析涡量方程，作者证明了在此临界弱空间中初始数据足够小时，解具有全局正则性，从而解决了文献[8]中的一个开放问题。

ABSTRACT

We consider the interior regularity of Leray-Hopf solutions to Navier-Stokes equations on critical case L^2_w(0,T;L^\infty(R^3)). Particularly, an open problem proposed in [KK] was solved.

研究动机与目标

• 解决三维不可压缩纳维-斯托克斯方程在弱空间中勒伊-霍夫解的临界正则性这一开放问题。
• 建立弱-L^2(0,T;L^∞(R^3)) 范数下的小量条件，以保证解的全局正则性。
• 在洛伦茨空间中建立新的嵌入不等式，以控制涡量方程中的非线性项。
• 将先前在洛伦茨空间中关于正则性的结果推广至涉及弱-L^∞(R^3) 与弱-L^2(0,T) 的临界情形。

提出的方法

• 在洛伦茨空间中引入新的嵌入不等式，特别在 $ L^{2,∞}(0,1) \times V(Q) $ 中，以控制非线性相互作用。
• 使用小波-帕利 dyadic 分解，对速度场与涡量场的频率分量进行局部化。
• 应用极大函数估计与哈代-杨不等式，控制 dyadic 频率相互作用的和。
• 通过抛积分解分析涡量方程，并利用速度的弱-L^∞ 范数估计非线性项。
• 采用 $ \|v\|_{Q} $-范数，该范数通过频率局部化的 $ L^2 $-范数与 $ L^2(0,T;H^1) $-控制定义，以量化正则性。
• 通过有界 $ \|v\|_{Q}^2 $ 以 $ \|u\|_{L^{2,\infty}(0,1;L^\infty)}\|v\|_{Q}^2 + \|v_0\|_{L^2}^2 $ 的形式导出先验估计，从而得出小量条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱-L^2(0,T;L^∞(R^3)) 范数下小量条件成立时，是否能建立勒伊-霍夫解的临界正则性？
• RQ2 是否存在一种洛伦茨空间中的新嵌入不等式，可控制涡量方程中非线性项？
• RQ3 文献[8]中关于临界弱空间中局部正则性的开放问题能否被解决？
• RQ4 若 $ \|u\|_{L^{2,\infty}(0,T;L^\infty)} $ 足够小，是否意味着勒伊-霍夫解具有全局正则性？
• RQ5 文献[T]中的方法能否推广至临界局部情形？若不能，需要引入何种新工具？

主要发现

• 本文证明：若存在足够小的 $ \epsilon > 0 $，使得 $ \|u\|_{L^{2,\infty}(0,T;L^\infty(\mathbb{R}^3))} \leq \epsilon $，则勒伊-霍夫解 $ u $ 在 $ \mathbb{R}^3 \times (0,T] $ 上正则，从而解决了文献[8]中的一个开放问题。
• 建立了洛伦茨空间中的新嵌入不等式：对 $ f \in L^{2,\infty}(0,1) $ 与 $ v \in V(Q) $，有 $ \sum_{q \geq -1} \sum_{j \sim q} \int_0^1 |f(t)| \|\Delta_j v(t)\|_{L^2} \|\nabla \Delta_q v(t)\|_{L^2} dt \leq C \|f\|_{L^{2,\infty}} \|v\|_Q^2 $。
• 正则性结果被推广至完整的尺度临界类：对 $ r \in [3,\infty] $，若 $ \|u\|_{L^{s}_{w}(0,T;L^{r}_{w}(\mathbb{R}^3))} \leq \epsilon $，且满足 $ \frac{2}{s} + \frac{3}{r} = 1 $，则 $ u $ 正则。
• 证明通过 $ \|v\|_Q^2 \leq C \|u\|_{L^{2,\infty}(0,1;L^\infty)} \|v\|_Q^2 + \|v_0\|_{L^2}^2 $ 建立了对 $ \|v\|_Q $-范数的先验控制，当 $ \|u\|_{L^{2,\infty}(0,1;L^\infty)} < 1/(2C) $ 时，可推出正则性。
• 结果表明：若在右闭时间区间内满足 $ |u(x,t)| \leq C / (T-t)^{1/2} $，则 $ u $ 在 $ \mathbb{R}^3 \times (T-R,T] $ 上有界且正则。
• 该方法通过使用洛伦茨空间技术与频率局部化，克服了先前方法的局限性，使得临界局部情形的处理成为可能，而此前方法在此情形下失效。