[论文解读] Regularity of Minimizers of Shape Optimization Problems involving Perimeter

Guido De Philippis, Jimmy Lamboley+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 33被引用 11

一句话总结

本文建立了结合周长与PDE相关泛函（如Dirichlet能量或谱泛函）的形状优化问题中极小化元的存在性与正则性。通过证明极小化元是周长的拟极小化元，作者表明在一般泛函G的假设下，即使对于变号数据或高阶特征值，极小化元在余维大于8的集合之外均为C¹,α正则。

ABSTRACT

We prove existence and regularity of optimal shapes for the problem$$\\min\\Big\\{P(\\Omega)+\\mathcal{G}(\\Omega):\\ \\Omega\\subset D,\\ |\\Omega|=m\\Big\\},$$where $P$ denotes the perimeter, $|\\cdot|$ is the volume, and the functional $\\mathcal{G}$ is either one of the following:\ extless{}ul\ extgreater{}\ extless{}li\ extgreater{} the Dirichlet energy $E\\_f$, with respect to a (possibly sign-changing) function $f\\in L^p$;\ extless{}/li\ extgreater{}\ extless{}li\ extgreater{}a spectral functional of the form $F(\\lambda\\_{1},\\dots,\\lambda\\_{k})$, where $\\lambda\\_k$ is the $k$th eigenvalue of the Dirichlet Laplacian and $F:\\mathbb{R}^k\ o\\mathbb{R}$ is Lipschitz continuous and increasing in each variable.\ extless{}/li\ extgreater{}\ extless{}/ul\ extgreater{}The domain $D$ is the whole space $\\mathbb{R}^d$ or a bounded domain. We also give general assumptions on the functional $\\mathcal{G}$ so that the result remains valid.

研究动机与目标

• 建立涉及周长与PDE基泛函的形状优化问题最优形状的存在性与正则性。
• 将正则性结果推广至非负数据或k=1特征值的古典情形之外。
• 统一并推广先前关于周长正则化形状问题的拟极小性与正则性结果。
• 处理一般泛函G(Ω)，如带变号f ∈ L^p的Dirichlet能量或满足Lipschitz与递增性的谱泛函F(λ₁,…,λ_k)。
• 证明极小化元是周长的拟极小化元，从而推出在小奇异集附近具有高正则性。

提出的方法

• 在有限周长的可测集类中采用松弛形状优化，通过紧致性与下半连续性确保存在性。
• 应用上下解技术与惩罚方法，推导周长泛函的局部拟极小性。
• 利用最优形状Ω*是P + G + μ|·|的下解这一事实，从而推出有界性与正则性。
• 证明 torsion函数w_Ω*为Lipschitz连续，从而可应用内部拟极小性估计。
• 应用Alt–Caffarelli自由边界正则性框架的推广版本，证明Ω*满足α > d−1的拟极小性条件(1.3)。
• 结合内部拟极小性与拟极小化元的已知正则性理论，推导出减小边界与小奇异集的C¹,α正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在|Ω| = m的约束下，P(Ω) + G(Ω)的极小化元在何种条件下是周长的拟极小化元？
• RQ2 对于涉及变号数据或高阶特征值的泛函G，能否在k=1情形之外建立最优形状的正则性？
• RQ3 对G的何种一般假设可确保极小化元有界且具有C¹,α减小边界？
• RQ4 如何将上下解方法适配至无自由边界形式的周长正则化形状问题？
• RQ5 torsion函数的Lipschitz连续性在建立内部拟极小性中起何作用？

主要发现

• 对于任意f ∈ L^p(D)且p > d，|Ω| = m下P(Ω) + E_f(Ω)的极小化元是周长的拟极小化元，因此在余维>8的集合之外为C¹,α正则。
• 当G(Ω)为F(λ₁,…,λ_k)形式的谱泛函且F为Lipschitz与递增时，P(Ω) + G(Ω)的极小化元也是周长的拟极小化元。
• 在G的一般假设下，即使f变号或D有界，极小化元仍为有界。
• 减小边界∂*Ω* ∩ D为C¹,α，且满足(α−d+1)/2 > 0，奇异集的Hausdorff维数≤ d−8。
• 证明表明最优形状为开集，并在状态函数变号时仍满足完整正则性(1.4)。
• 该结果推广了先前工作：放宽了假设，允许f ∈ L^p（p > d）变号，以及谱泛函中任意k ≥ 1。