[论文解读] Regularity of projections revisited

Charles A. Akemann, Søren Eilers|ArXiv.org|Jun 19, 2000

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文研究 C*-代数双对偶中开与余稠投影的正则性，特别关注于 Murray-von Neumann 等价关系下的开投影。结果表明，即使在简单的 C*-代数中，也并非所有开且余稠的投影都是正则的，本文在 AF 代数和 2^∞ UHF 代数中提供了反例，同时建立了此类投影为正则的充分条件，包括有限余维和不存在极小投影的情形。

ABSTRACT

The concept of regularity in the meta-topological setting of projections in the double dual of a C*-algebra addresses the interrelations of a projection p with its closure, for instance in the form that such projections act identically, in norm, on elements of the C*-algebra. This concept has been given new actuality with the recent plan of Peligrad and Zsido to find a meaningful notion of Murray-von Neumann type equivalence among open projections. Although automatic in the commutative case, it has been known since the late sixties that regularity fails for many projections. The original investigations, however, did not answer a question such as: "Are all open and dense projections regular in A, when A is simple?" We report here that this and related questions have negative answers. In the other direction, we supply positive results on regularity of large open projections.

研究动机与目标

• 解决关于在简单 C*-代数中所有开且余稠投影是否均为正则的开放问题。
• 研究 Peligrad 与 Zsido 关于开投影的 Murray-von Neumann 等价性程序中正则性失效的原因。
• 确定通过 C*-代数中正的、范数为一的元素 b 定义的半范数 ‖·‖_b 是否总是范数。
• 识别在无极小投影条件下，大尺寸开且余稠投影为正则的充分条件。
• 澄清 C*-代数双对偶中拓扑性质（开、余稠、闭）与正则性之间的相互作用。

提出的方法

• 使用半范数 ‖x‖_b = supₙ ‖x b^{1/n} x*‖^{1/2}（其中 b ∈ A⁺ 且 ‖b‖ = 1）来分析双对偶中的正则性。
• 应用投影 p ∈ A** 为正则的刻画：当且仅当对所有 a ∈ A，有 ‖a‖ = ‖ap‖。
• 通过将投影分解为 I 型与反初等部分，将问题约化为分析被 1 - z（原子表示的中心覆盖）所控制的投影。
• 在连续迹 C*-代数的谱上运用范畴论论证，证明中心覆盖的可数并集是稠密的。
• 应用 C*-代数的结构结果：分解为 I 型与反初等部分，连续迹理想的存在性，以及极小投影的性质。
• 利用闭投影为正则的性质，以及正则性在双对偶中某些上确界与补集下保持不变的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在简单 C*-代数中，所有开且余稠投影是否都是正则的？
• RQ2 对于 C*-代数中任意正的、范数为一的非零因子元素 b，半范数 ‖·‖_b 是否总是范数？
• RQ3 是否存在 C*-代数，其正的、范数为一的非零因子元素 b 满足 ‖·‖_b ≠ ‖·‖？
• RQ4 当投影形式为 1 - ⋁pₙ（其中 pₙ 为极小投影）时，在何种条件下其为正则且余稠？
• RQ5 在 AF 代数中，开且余稠投影的正则性失效能否被系统地刻画？

主要发现

• 存在 AF 代数，其中开且余稠投影非正则，从而否定了在简单 C*-代数中所有此类投影均为正则的问题。
• 即使 ‖·‖_b 总是半范数，其对于正的、范数为一的非零因子元素 b 并不总是范数。
• 在 2^∞ UHF 代数中，存在正的、范数为一的非零因子元素 b，使得 ‖·‖_b ≠ ‖·‖，这意味着存在非正则的开且余稠投影。
• 若 {pₙ} 是 A** 中极小投影的可数族，且仅有有限个属于 A，则 q = 1 - ⋁pₙ 在 A** 中为正则且余稠。
• 当 C*-代数无极小投影，且 pₙ 为纯态的支撑投影时，形式为 1 - ⋁ₙ pₙ 的投影为正则且余稠。
• 若 A 具有连续迹，且 {pₙ} 为极小投影的可数族，则 1 - ⋁pₙ 为正则且余稠，因为其中心覆盖在谱中是稠密的。