[论文解读] Regularity of rational vertex operator algebras

Chongying Dong, Haisheng Li+1 more|ArXiv.org|Aug 24, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了有理顶点算子代数成为正则代数的充分条件，即所有弱模均可分解为不可约普通模的直和。本文证明了关键例子的正则性，包括月亮怪模 $V^ atural$、仿射 $\\-widehat{\\mathfrak{g}}$-模 $L(l,0)$、维拉索罗离散系列 $L(c_{p,q},0)$ 以及格点顶点代数 $V_L$，并将完全可约性推广至非正定格点。

ABSTRACT

A regular vertex operator algebra is a vertex operator algebra such that any weak module (without grading) is a direct sum of ordinary irreducible modules. In this paper we give several sufficient conditions under which a rational vertex operator algebra is regular. We prove that the moonshine module vertex operator algebra $V^{ atural},$ the vertex operator algebras $L(l,0)$ associated with the integrable representations of affine algebras of level $l,$ the vertex operator algebras $L(c_{p,q},0)$ associated with irreducible highest weight representations for the discrete series of the Virasoro algebra and the vertex operator algebras $V_L$ associated with positive definite even lattices $L$ are regular. Our result for $L(l,0)$ implies that any restricted integrable module of level $l$ for the corresponding affine Lie algebra is a direct sum of irreducible highest weight integrable modules. The space $V_L$ in general is a vertex algebra if $L$ is not positive definite. In this case we establish the complete reducibility of any weak module.

研究动机与目标

• 建立有理顶点算子代数为正则代数的充分条件。
• 证明有理 VOAs 上的弱模可分解为不可约普通模的直和。
• 将完全可约性性质推广至与非正定偶格相关的顶点代数。
• 证明仿射李代数在水平 $l$ 下的受限可积模是不可约最高权模的直和。

提出的方法

• 利用顶点算子代数的表示理论及弱模的性质。
• 应用仿射李代数可积模的理论以分析 $L(l,0)$ VOAs。
• 利用维拉索罗代数表示的结构以研究 $L(c_{p,q},0)$ VOAs。
• 分析偶格 $L$ 的格点顶点代数 $V_L$，包括非正定情形。
• 使用正则性的定义：每个弱模均为不可约普通模的直和。
• 应用量子代数与顶点代数理论的结果，以验证各类 VOAs 的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有理顶点算子代数是正则的？
• RQ2 能否为与仿射李代数相关的 $L(l,0)$ 顶点算子代数建立弱模的完全可约性？
• RQ3 月亮怪模 $V^\natural$ 是否正则，且其弱模是否满足直和分解？
• RQ4 当格 $L$ 不为正定时，正则性性质是否可推广至顶点代数 $V_L$？
• RQ5 仿射李代数在水平 $l$ 下的受限可积模是否完全可约为不可约最高权模的直和？

主要发现

• 月亮怪模顶点代数 $V^\natural$ 是正则的，即所有弱模均可分解为不可约普通模的直和。
• 与仿射李代数在水平 $l$ 下的可积表示相关的顶点算子代数 $L(l,0)$ 是正则的。
• 维拉索罗代数离散系列的顶点代数 $L(c_{p,q},0)$ 是正则的。
• 即使格 $L$ 不为正定，格点顶点代数 $V_L$ 也是正则的，从而确保所有弱模的完全可约性。
• 由于 $L(l,0)$ 的正则性，相应仿射李代数的任意受限可积模均为不可约最高权可积模的直和。