[论文解读] Regularity of solutions for the critical $N$-dimensional Burgers' equation

Chi Hin Chan, Magdalena Czubak|ArXiv.org|Oct 17, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用 4

一句话总结

本论文通过受 Caffarelli 和 Vasseur 启发的改进抛物型 De Giorgi 方法，建立了临界 $N$-维 Burgers 方程在 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 初始数据下的全局解的存在性与光滑性。证明了弱解具有局部 Hölder 连续性，因而光滑，将一维周期情形的正则性结果推广至一般 $N$-维情形。

ABSTRACT

We consider the fractional Burgers' equation on $\R^N$ with the critical dissipation term. We follow the parabolic De-Giorgi's method of Caffarelli and Vasseur \cite{Driftdiffusion} and show existence of smooth solutions given any initial datum in $L^2(\R^N)$.

研究动机与目标

• 建立临界 $N$-维 Burgers 方程在 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 初始数据下的全局正则解的存在性。
• 将 Caffarelli 和 Vasseur 的抛物型 De Giorgi 方法推广至非拟地转、非线性形式的 Burgers 方程设定。
• 证明弱解具有局部 Hölder 连续性，从而光滑，且无需周期性或 Besov 空间假设。
• 解决高维情形下的正则性问题，其中先前结果仅限于一维或周期设定。
• 展示 Caffarelli 和 Vasseur 的方法可被适配以处理非线性对流项 $ heta \nabla \theta$ 及临界分数阶耗散的情形。

提出的方法

• 将 Caffarelli 和 Vasseur [2] 的抛物型 De Giorgi 方法适配至临界 $N$-维 Burgers 方程，其中初始数据满足 $ heta_0 \notin L^p$（$p>2$）。
• 利用分数阶拉普拉斯算子 $(-\triangle)^{1/2}$ 的结构，推导出解的正部的局部能量不等式。
• 通过上半空间中的边界估计，运用调和延拓技术控制非局部项 $(-\triangle)^{1/2}\theta$。
• 基于 Hölder 连续性估计实施一个基于迭代的 bootstrap argument，表明 $C^\beta$ 正则性可逐步提升至 $C^\rho$（对所有 $ < 1$）。
• 通过 Riesz 变换产生的奇异积分算子，利用点态估计及 Poisson 核的衰减性质进行控制。
• 通过抛物柱体中的迭代衰减与尺度变换论证，建立解及其导数的 $L^\rho$ 估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将抛物型 De Giorgi 方法从临界拟地转方程推广至 $N$ 维临界 Burgers 方程？
• RQ2 每个 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 初始数据是否都能生成临界 $N$-维 Burgers 方程的全局光滑解？
• RQ3 在临界 $N$-维设定下，弱解的局部 Hölder 连续性是否足以推出光滑性？
• RQ4 Caffarelli 和 Vasseur 的方法能否被适配以处理非线性项 $ heta \nabla \theta$，且在无散度速度场假设下？
• RQ5 临界耗散项 $(-\triangle)^{1/2}$ 在高维中对一般 $L^2$ 初始数据的正则性起到何种作用？

主要发现

• 对任意满足 $ heta_0 \notin L^p$（$p>2$）的初始数据，存在全局弱解 $ heta \notin L^\rho$（$ >2$），且 $ heta \in L^\rho_{\text{loc}}((0,\rho)\times\mathbb{R}^N)$ 对所有 $ <\rho_0$ 成立。
• 解 $ heta$ 属于 $L^\rho_{\text{loc}}((0,\rho)\times\mathbb{R}^N)$ 对所有 $ <\rho_0$，其中 $ _0 = \frac{2N}{N-2}$（当 $N>2$ 时），$ _0 = \rho$（当 $N=2$ 时）。
• 解在空间与时间上具有局部 Hölder 连续性，Hölder 指数 $eta$ 满足 $2\beta < 1$。
• 由于基于非局部项正则性的 bootstrap argument，解 $ heta$ 是光滑的（即对所有 $ < 1$，有 $C^\rho$ 正则性）。
• 该方法确保解在所有 $ < \rho_0$ 下保持 $L^\rho$ 有界，其中 $ _0 = \frac{2N}{N-2}$（$N>2$ 时）。
• 证明表明 $C^\beta$ 正则性可推出对所有 $ ' < 1$ 的 $C^{\beta'}$ 正则性，最终导致对所有 $ < 1$ 的 $C^\rho$ 正则性。