[论文解读] Regularity of solutions of the Stein equation and rates in the multivariate central limit theorem

Thomas Gallouët, Guillaume Mijoule+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文建立了多变量 Stein 方程解的改进 Hölder 正则性界，表明当检验函数 h 为 α-Hölder 连续时，解的二阶导数在对数因子范围内为 α-Hölder 连续。作为关键应用，它在三阶矩条件下，于 1-Wasserstein 距离下导出了近最优的 Berry-Esseen 界，其阶为 log n / √n；在 2+δ 阶矩条件下，恢复了最优速率 O(n^{-δ/2})，并给出了显式的维度依赖常数。

ABSTRACT

Consider the multivariate Stein equation $Δf - x\cdot abla f = h(x) - E h(Z)$, where $Z$ is a standard $d$-dimensional Gaussian random vector, and let $f\_h$ be the solution given by Barbour's generator approach. We prove that, when $h$ is $α$-Hölder ($0

研究动机与目标

• 在检验函数 h 为 α-Hölder 连续时，建立多变量 Stein 方程解的更优正则性性质。
• 改进现有对解的二阶导数 Hölder 正则性的界，特别是对数因子范围内的改进。
• 将改进的正则性结果应用于多变量中心极限定理，基于最小的矩假设，推导近最优的收敛速率。
• 量化收敛速率对维度 d 的依赖关系，提供高维情形下的显式常数。

提出的方法

• 采用 Barbour 的生成元方法，定义多变量 Stein 方程 Δf − x·∇f = h(x) − E[h(Z)] 的解 f_h。
• 通过一个高斯位置混合的时平均条件期望，给出 f_h 的积分表示。
• 应用分部积分和矩估计，将 f_h 的二阶导数差异以 h 的 Hölder 半范数形式有界。
• 通过将积分区域进行二进制分解，控制 t=1 附近的奇点，分离常规与奇异区域。
• 对非中心卡方和高斯混沌型项施加精确的矩估计，以控制解在原点和无穷远处的行为。
• 采用在原点具有角点的特定检验函数，以证明当 α=1 时正则性结果的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 h 为 α-Hölder 连续时，多变量 Stein 方程解的二阶导数的最优 Hölder 正则性为何？
• RQ2 在存在对数因子的情况下，f_h 的正则性是否可超越标准光滑性传播，从而得到改进？
• RQ3 在有限三阶矩条件下，多变量中心极限定理在 1-Wasserstein 距离下的最佳收敛速率为何？
• RQ4 收敛速率如何依赖于维度 d？能否推导出显式常数？
• RQ5 当 α=1 时，正则性界是否最优？能否通过反例加以验证？

主要发现

• 当 h 为 α-Hölder 连续（0 < α ≤ 1）时，多变量 Stein 方程解 f_h 的二阶导数在对数因子范围内为 α-Hölder 连续。
• 当 α = 1 时，正则性界为最优，由 Raič（2018）的反例证实了其最优性。
• 在有限三阶矩条件下，1-Wasserstein 距离下的 Berry-Esseen 界阶为 log n / √n，为近最优。
• 在有限 (2+δ) 阶矩条件下（δ ∈ (0,1)），恢复了最优速率 O(n^{-δ/2})，与已知下界一致。
• 所有界中的常数均为显式表达，且其对维度 d 的依赖关系被量化，表明对数因子在 d 上呈多项式增长。
• 所采用的证明技术（包括对积分的精细分解和矩估计）相比基于直接微分的先前方法，提供了更紧的控制。