[论文解读] Regularity of stable solutions up to dimension 7 in domains of double revolution

Xavier Cabré, Xavier Ros‐Oton|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 7

一句话总结

该论文在非线性项满足一般条件的前提下，证明了在双旋转凸域中，当维度不超过7时，半线性椭圆方程 $-\Delta u = \lambda f(u)$ 的极值解具有有界性。作者通过引入一种新型的带有单项式权重的加权Sobolev不等式与等周不等式，推导出稳定解的 $L^\infty$ 和 $H^1_0$ 估计，从而证明当 $n \leq 7$ 时，极值解保持有界，将此前仅限于径向情形的结果推广至更一般的情形。

ABSTRACT

We consider the class of semi-stable positive solutions to semilinear equations $-Δu=f(u)$ in a bounded domain $Ω\subset\mathbb R^n$ of double revolution, that is, a domain invariant under rotations of the first $m$ variables and of the last $n-m$ variables. We assume $2\leq m\leq n-2$. When the domain is convex, we establish a priori $L^p$ and $H^1_0$ bounds for each dimension $n$, with $p=\infty$ when $n\leq7$. These estimates lead to the boundedness of the extremal solution of $-Δu=λf(u)$ in every convex domain of double revolution when $n\leq7$. The boundedness of extremal solutions is known when $n\leq3$ for any domain $Ω$, in dimension $n=4$ when the domain is convex, and in dimensions $5\leq n\leq9$ in the radial case. Except for the radial case, our result is the first partial answer valid for all nonlinearities $f$ in dimensions $5\leq n\leq 9$.

研究动机与目标

• 在双旋转域中建立稳定解 $-\Delta u = \lambda f(u)$ 的正则性，该类域推广了径向对称性，但比一般凸域更简单。
• 将已知的极值解有界性结果从径向情形推广至维度 $n \leq 9$ 的情形，尤其填补了 $5 \leq n \leq 9$ 维情形下的空白。
• 在双旋转凸域中，对半稳定解建立 $L^\infty$ 和 $H^1_0$ 估计，且该结果对所有维度 $n \leq 7$ 成立。
• 推导出一种新的带有单项式权重的加权Sobolev与等周不等式，该不等式是正则性分析的核心。

提出的方法

• 作者研究在前 $m$ 个与后 $k$ 个变量上旋转对称的域，其中 $2 \leq m \leq n-2$，利用径向对称性将问题约化为二维情形。
• 在 $\mathbb{R}_+^2$ 上引入加权测度 $\sigma^a \tau^b d\sigma d\tau$，其中 $\sigma$ 和 $\tau$ 分别表示两个正交子空间中的径向距离。
• 在该加权测度下，证明了 $\mathbb{R}_+^2$ 中集合的新等周不等式，表明加权周长通过 $D-1/D$ 的幂次控制加权测度，其中 $D = a + b + 2$。
• 该等周不等式被用于推导形式为 $\|u\|_{L^{q^*}} \leq C \|\nabla u\|_{L^q}$ 的加权Sobolev不等式，其中 $1 \leq q < D$，且 $q^* = \frac{Dq}{D-q}$，权重为 $\sigma^a \tau^b$。
• 该Sobolev不等式被应用于约化后的二维域中的变换解，从而获得稳定解的 $L^p$ 与 $H^1_0$ 估计。
• 这些估计被进一步用于证明当 $n \leq 7$ 时，双旋转凸域中极值解 $u^*$ 的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在维度 $n \leq 9$ 的非径向凸域中证明 $-\Delta u = \lambda f(u)$ 的极值解 $u^*$ 有界？
• RQ2 对称性在将稳定解的正则性结果从径向情形推广时起到何种作用？
• RQ3 能否构造并应用一种新的带有单项式权重的加权Sobolev不等式，以控制对称域中解的增长？
• RQ4 在 $n \leq 7$ 时，双旋转域中极值解的有界性是否成立，即使不具有径向对称性？
• RQ5 双旋转域的结构如何使得其正则性估计优于一般凸域？

主要发现

• 对于所有满足给定条件的非线性项 $f$，当 $n \leq 7$ 时，极值解 $u^*$ 在双旋转凸域中属于 $L^\infty(\Omega)$。
• 作者在这些域中建立了半稳定解的 $L^p$ 与 $H^1_0$ 估计，当 $n \leq 7$ 时 $p = \infty$，从而表明极值解有界。
• 在 $\mathbb{R}_+^2$ 上，针对测度 $\sigma^a \tau^b d\sigma d\tau$，证明了一种新的加权等周不等式，表明对满足特定几何性质的集合，有 $m(E)^{(D-1)/D} \leq C \, m(\partial E \cap \mathbb{R}_+^2)$。
• 相应地，推导出加权Sobolev不等式：$\|u\|_{L^{q^*}} \leq C \|\nabla u\|_{L^q}$，其中 $1 \leq q < D$，且 $D = a + b + 2$，权重相同。
• 该方法在 $n \leq 7$ 时，对一般非线性项 $f$（满足 $f(0) > 0$ 且当 $\tau \to \infty$ 时 $f'(\tau)/\tau \to \infty$）也给出了稳定解的 $L^\infty$ 估计。
• 该结果是首次在非径向、一般非线性情形下将有界性结果推广至 $5 \leq n \leq 9$ 维，为解决高维情形下的开放问题迈出了重要一步。