[论文解读] Regularity of the distance function to the boundary

Yanyan Li, Louis Nirenberg|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用 39

一句话总结

本文在边界为 $C^{k,\beta}$ 且 $k \geq 2$，$0 < \beta \leq 1$ 的光滑 Finsler 流形的区域中，建立了到边界距离函数的 $C^{k,\beta}$ 正则性。通过使用特殊的法坐标系和测地线的二阶变分分析，证明了在最近边界点唯一的集合 $G$ 中，距离函数为 $C^{k,\beta}$，从而推广了关于 Hamilton-Jacobi 方程粘性解的先前结果。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a domain in a smooth complete Finsler manifold, and let $G$ be the largest open subset of $Ω$ such that for every $x$ in $G$ there is a unique closest point from $\partial Ω$ to $x$ (measured in the Finsler metric). We prove that the distance function from $\partial Ω$ is in $C^{k,α}_{loc}(G\cup \partial Ω)$, $k\ge 2$ and $0

研究动机与目标

• 在边界为 $C^{k,\alpha}$ 且 $k \geq 2$，$0 < \alpha \leq 1$ 的 Finsler 流形中，建立到边界距离函数的 $C^{k,\alpha}$ 正则性。
• 解决 Joel Spruck 提出的关于黎曼情形下距离函数正则性的问题，并将其推广至 Finsler 设置。
• 在某点处法测地线是来自边界邻域的唯一最短路径时，提供该点附近的局部正则性结果。
• 若共轭点位于点 $X$ 之后且测地线唯一，则证明距离函数在点 $X$ 的邻域内为 $C^{k,\alpha}$。
• 建立映射 $X \mapsto (d, y)$ 的雅可比矩阵非奇异，其中 $d$ 为距离，$y$ 为最近边界点，在 $X = e_n$ 处成立。

提出的方法

• 在边界上某点处使用特殊的法坐标系，其中 $x_n$-轴为法测地线，且在原点处 Finsler 度量满足特定归一化条件。
• 应用弧长的二阶变分来刻画共轭点，并确保在共轭点之后最小化测地线的唯一性。
• 对 Finsler 度量 $\varphi$ 施加条件，使得 $\varphi(te_n; e_n) \equiv 1$，$\varphi_{v^\alpha}(te_n; e_n) \equiv 0$，且 $\varphi_{v^n}(te_n; e_n) \equiv 1$，以保证法性和光滑性。
• 通过测地线的参数族分析最近边界点 $y$ 对 $X \in \Omega$ 的依赖关系，利用隐函数定理处理映射 $X \mapsto (d, y)$。
• 利用边界函数的黑塞矩阵非退化性以及 $\varphi$ 在切向方向上的二阶导数的正定性，确保雅可比矩阵非奇异。
• 依赖于一个具有正定黑塞矩阵的比较函数 $\tilde{f}$，以证明在应用隐函数定理时雅可比行列式非奇异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，Finsler 流形中区域到边界的距离函数在最近边界点唯一的集合 $G$ 中为 $C^{k,\alpha}$？
• RQ2 边界 $\partial\Omega$ 的 $C^{k,\alpha}$ 正则性是否意味着在 $G$ 中距离函数也为 $C^{k,\alpha}$？
• RQ3 无共轭点在确保距离函数正则性方面起什么作用？
• RQ4 从边界邻域出发的最小化测地线的唯一性如何影响距离函数的正则性？
• RQ5 能否证明在最小化测地线唯一且共轭点位于 $X$ 之后的点 $X$ 处，映射 $X \mapsto (d(X), y(X))$ 的雅可比矩阵非奇异？

主要发现

• 若 $\partial\Omega$ 为 $C^{k,\alpha}$ 且 $k \geq 2$，$0 < \alpha \leq 1$，则到边界的距离函数 $d(X)$ 局部属于 $C^{k,\alpha}_{\text{loc}}(G \cup \partial\Omega)$，其中 $G$ 为最近边界点唯一的点集。
• 在最小化测地线唯一且共轭点位于 $X$ 之后的点 $X$ 的邻域 $A$ 中，最近边界点 $y(X)$ 属于 $C^{k-1,\alpha}_{\text{loc}}(A)$。
• 在给定条件下，映射 $X \mapsto (d(X), y(X))$ 的雅可比矩阵在 $e_n$ 处非奇异，从而保证了 $d(X)$ 的局部 $C^{k,\alpha}$ 正则性。
• 通过与一个 $C^{2,1}$ 函数 $\tilde{f}$ 比较，其黑塞矩阵严格正定，从而确立了雅可比行列式的非奇异性质，确保导数行列式非零。
• 在共轭点之前，弧长的二阶变分严格正定，确保在该点之后不存在更短的测地线，从而支持最小化测地线的唯一性和正则性。
• 关键恒等式 $D^2_{v'}\varphi(0'; e_n) \nabla V'(0') + D^2f(0') = 0$ 将 Finsler 度量的几何与边界第二基本形式联系起来，为正则性证明提供了关键支持。