[论文解读] Regularity of the drift and entropy of random walks on groups

Lorenz A. Gilch, François Ledrappier|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 4

一句话总结

本论文研究了在有限生成群（特别是自由群、自由积和双曲群）上随机游动的渐近熵 $h_p$ 和线性漂移 $\ell_p$ 的规律性。通过变分原理和在 Gromov 边界上的边界作用，证明了在有限支撑下，$h_p$ 关于参数 $p$ 的实解析性，以及 $h_p$ 和 $\ell_p$ 的利普希茨连续性；在双曲群上的对称测度下，更进一步得到了 $C^1$ 正则性。

ABSTRACT

Random walks on a group $G$ model many natural phenomena. A random walk is defined by a probability measure $p$ on $G$. We are interested in asymptotic properties of the random walks and in particular in the linear drift and the asymptotic entropy. If the geometry of the group is rich, then these numbers are both positive and the way of dependence on $p$ is itself a property of $G$. In this note, we review recent results about the regularity of the drift and the entropy for free groups, free products and hyperbolic groups.

研究动机与目标

• 理解随机游动在群上的渐近熵 $h_p$ 和线性漂移 $\ell_p$ 对驱动概率测度 $p$ 的依赖关系。
• 确定 $h_p$ 和 $\ell_p$ 作为 $p$ 的函数在各类群类中的规律性（解析性、利普希茨性或 $C^1$ 性）。
• 通过在 Gromov 边界 $\partial G$ 上的平稳测度，推广 $h_p$ 和 $\ell_p$ 的变分表征。
• 建立 $h_p$ 和 $\ell_p$ 关于 $p$ 光滑变化的条件，特别是在非平坦群与双曲群设定下。

提出的方法

• 使用变分原理：$h_p = \max \{ h_p(X,\nu) \}$，其中 $X$ 为 $G$-空间，$\nu$ 为 $p$-平稳测度。
• 通过边界积分表示 $h_p$：$h_p = \sum_{g\in B} \int_{\partial G} \varphi_p(g,\xi) \, d\nu_p(\xi) \, p(g)$，其中 $\varphi_p(g,\xi)$ 为 Busemann 上循环。
• 应用 Busemann 紧化 $\overline{G}$ 和霍罗函数 $\xi$ 来建模边界作用。
• 利用无穷远处的 Harnack 不等式与双曲性，控制 $\varphi_p$ 和 $\nu_p$ 的规律性。
• 使用格林度量及其双曲性，证明测度与上循环的可微性。
• 应用 Kingman 的子加性遍历定理，以证明 $\ell_p$ 和 $h_p$ 作为极限的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自由群上，渐近熵 $h_p$ 如何随概率测度 $p$ 变化？
• RQ2 对于具有有限支撑的双曲群，线性漂移 $\ell_p$ 是否关于 $p$ 实解析？
• RQ3 在余紧 Fuchsian 群上，$h_p$ 和 $\ell_p$ 的规律性属性（解析性、利普希茨性、$C^1$ 性）为何？
• RQ4 能否证明在双曲群上对称测度下，映射 $p \mapsto h_p$ 为 $C^1$ 光滑？
• RQ5 在具有有限一阶矩的测度全空间 $\mathcal{P}^1(G)$ 上，$h_p$ 的规律性如何？

主要发现

• 对于具有有限支撑 $B$ 的自由群，映射 $p \mapsto h_p$ 在 $\mathcal{P}(B)$ 上为实解析。
• 对于具有平面表示的余紧 Fuchsian 群，映射 $p \mapsto \ell_p$ 在 $\mathcal{P}(B)$ 上为实解析。
• 对于具有有限支撑的一般双曲群，$p \mapsto h_p$ 和 $p \mapsto \ell_p$ 在 $\mathcal{P}(B)$ 上为利普希茨连续。
• 对于双曲群上的对称测度，$p \mapsto h_p$ 在空间 $\mathcal{P}_\sigma(B)$ 上为 $C^1$-光滑。
• 沿光滑曲线 $p_\lambda$，$h_p$ 的导数由涉及 $\varphi_p(g,\xi)$ 和 $\nu_p$ 的导数之和给出。
• 极限 $\lim_{\lambda \to 0} \frac{1}{\lambda} \sum_{g\in B} \int (\varphi_{p_\lambda}(g,\xi) - \varphi_{p_0}(g,\xi)) \, d\nu_{p_\lambda}(\xi) \, p_\lambda(g) = 0$ 成立，这是实现 $C^1$-正则性的关键。