[论文解读] Regularity of the extremal solutions associated to elliptic systems

A. Aghajani, Craig Cowan|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文建立了具有超线性非线性的完全耦合椭圆系统极值解的有界性（L∞正则性）。通过分析非线性项在无穷远处的渐近行为，利用比值 $ \tau_{\pm} = \lim_{t\to\infty} \frac{f(t)f''(t)}{f'(t)^2} $，证明了在维度 $ N < \frac{2\alpha_*(2-\tau_+)+2\tau_+}{\tau_+}\max\{1,\tau_+\} $ 时，极值解是有界的，其中 $ \alpha_* $ 是由 $ \tau_- $ 和 $ \tau_+ $ 导出的二次多项式的最大根。该结果在 $ N < 5 $ 时保证了 $ L^\infty $ 正则性；当 $ \tau_- = \tau_+ = \tau $ 时，该界限可扩展至 $ N < 10 $。

ABSTRACT

We examine the elliptic system given by \begin{eqnarray*} \qquad \left\{ \begin{array}{lcl} -Δu =λf(v) \quad \mbox{ in } Ω -Δv =γf(u) \quad \mbox{ in } Ω, u=v =0, \quad \mbox{ on } \pOm \end{array} ight. \end{eqnarray*} where $λ,γ$ are positive parameters, $Ω$ is a smooth bounded domain in $\IR^N$ and $f$ is a $C^{2}$ positive, nondecreasing and convex function in $[0,\infty)$ such that $\frac{f(t)}{t} ightarrow\infty$ as $t ightarrow\infty$. Assuming $$01$ denotes the largest root of the $2^{nd}$ order polynomial $$P_{f}(α,τ_{-},τ_{+}):=(2-τ_{-})^{2} α^{2}- 4(2-τ_{+})α+4(1-τ_{+}).$$ As a consequences, $u^*, v^*\in L^\infty(Ω)$ for $N&lt;5$. Moreover, if $τ_{-}=τ_{+}$, then $u^*, v^*\in L^\infty(Ω)$ for $N&lt;10$.

研究动机与目标

• 解决完全耦合椭圆系统中具有凸性、超线性非线性的极值解正则性问题的开放性问题。
• 确定极值解可能变得奇异的最优维度阈值 $ N(f) $。
• 将已知结果从 $ f(t) = e^t $ 和 $ f(t) = (1+t)^p $ 推广到更广泛的非线性类，其特征为 $ \tau_{-} \leq \tau_{+} < 2 $。
• 推导出极值解在 $ L^\infty(\Omega) $ 中保持有界的维度 $ N $ 的精确界限，该界限取决于 $ f $ 的渐近强凸性。

提出的方法

• 利用最小解稳定性导出的半稳定性不等式 $ \sqrt{\lambda\gamma}\int \sqrt{f'(u)f'(v)}\phi^2 \leq \int |\nabla\phi|^2 $，对所有 $ \phi \in H^1_0(\Omega) $ 成立。
• 引入加权测试函数技巧，使用 $ \tilde{f}(t) = \max\{f(t), T\} $ 将分析局部化到 $ u $ 和 $ v $ 的大值区域，从而实现对 $ f'(t)^{1-\alpha}\tilde{f}(t)^{2\alpha} $ 的 $ L^1 $ 估计。
• 应用 Hölder 不等式与对称性论证，联合估计 $ I = \int f'(u)^{1/2 - \alpha}f'(v)^{1/2}\tilde{f}(u)^{2\alpha} $ 与 $ J = \int f'(v)^{1/2 - \alpha}f'(u)^{1/2}\tilde{f}(v)^{2\alpha} $，若两者均无界则导致矛盾。
• 推导出二次多项式 $ P_f(\alpha, \tau_-, \tau_+) = (2-\tau_-)^2\alpha^2 - 4(2-\tau_+)\alpha + 4(1-\tau_+) $，并选取其最大根 $ \alpha_* > 1 $ 以定义临界维度。
• 在证明 $ f'(v)^{(2-\tau_+)\alpha_* + \tau_+} \in L^1(\Omega) $ 与 $ f'(v)^{\frac{(2-\tau_+)\alpha_* + \tau_+}{\tau_+}} \in L^1(\Omega) $ 后，应用标准椭圆正则性理论，确保 $ v^* $ 有界，由对称性亦得 $ u^* $ 有界。
• 利用当 $ \alpha > 1 $ 且 $ \tau_+ < 2 $ 时，$ f'(t)^{1/2 - \alpha}\tilde{f}(t)^{2\alpha} $ 在 $ t $ 充分大时单调递增的性质，推导出可积性并控制增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种非线性 $ f $ 的条件下，系统 $ -\Delta u = \lambda f(v), -\Delta v = \gamma f(u) $ 在 $ \Omega $ 中的极值解 $ (u^*, v^*) $ 属于 $ L^\infty(\Omega) $？
• RQ2 最优维度 $ N(f) $ 是什么，使得对所有 $ N < N(f) $，均有 $ u^*, v^* \in L^\infty(\Omega) $，且该值依赖于 $ f $ 的渐近行为？
• RQ3 正则性阈值如何依赖于比值 $ \tau_{\pm} = \lim_{t\to\infty} \frac{f(t)f''(t)}{f'(t)^2} $，特别是当 $ \tau_- = \tau_+ $ 时？
• RQ4 已知的 $ f(t) = e^t $ 情况下 $ L^\infty $ 正则性结果（在 $ N < 10 $ 时成立）能否推广至具有相同 $ \tau $ 值的更广泛非线性类？
• RQ5 是否存在对所有半稳定解一致成立的 $ L^1 $ 有界性，即 $ f'(t)^{1-\alpha}\tilde{f}(t)^{2\alpha} $ 在 $ \lambda, \gamma $ 无关下有界，从而蕴含 $ L^\infty $ 正则性？

主要发现

• 极值解 $ (u^*, v^*) $ 在所有维度 $ N < \frac{2\alpha_*(2-\tau_+)+2\tau_+}{\tau_+}\max\{1,\tau_+\} $ 下属于 $ L^\infty(\Omega) $，其中 $ \alpha_* > 1 $ 是二次多项式 $ P_f(\alpha, \tau_-, \tau_+) = (2-\tau_-)^2\alpha^2 - 4(2-\tau_+)\alpha + 4(1-\tau_+) $ 的最大根。
• 当 $ N < 5 $ 时，只要 $ \tau_+ < 2 $，极值解在 $ L^\infty(\Omega) $ 中总是有界的，与具体 $ f $ 无关。
• 若 $ \tau_- = \tau_+ = \tau $，则 $ u^*, v^* \in L^\infty(\Omega) $ 对所有 $ N < 10 $ 成立，且边界 $ N(f) = 2 + 4\frac{1+\sqrt{\tau}}{\tau} \geq 10 $ 取等。
• 对于 $ f(t) = e^t $ 或 $ f(t) = e^{t^\alpha} $，条件 $ \tau_- = \tau_+ = 1 $ 导出 $ N(f) = 10 $，与已知的指数非线性结果一致。
• 对于 $ f(t) = (1+t)^p $ 且 $ p > 1 $，界限变为 $ N(f) = 2 + \frac{4}{p-1}(p + \sqrt{p^2 - p}) $，与文献 [2] 和 [6] 中的结果一致。
• 证明表明，若 $ I $ 与 $ J $ 均无界，则必有 $ P_f(\alpha, \tau_-, \tau_+) \geq 0 $，这与 $ \alpha $ 接近 $ \alpha_* $ 的选择矛盾，从而推出关键权函数的统一 $ L^1 $ 有界性。