[论文解读] Regularity of viscosity solutions defined by Hopf-type formula for Hamilton-Jacobi equations

Nguyen Hoang|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究由霍普夫型公式定义的哈密顿-雅可比方程粘性解的正则性，聚焦于可微性与奇点传播。在初始数据与哈密顿量满足特定相容性条件时，建立了解在向前时间条带内连续可微的条件，并通过特征曲线分析与最大化者集几何方法证明奇点向前传播。

ABSTRACT

Some properties of characteristic curves in connection with viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations defined by Hopf-type formula are studied. We investigate the points where the Hopf-type formula $u(t,x)$ is differentiable, and the strip of the form $(0,t_0) imes \R^n$ of the domain $Ω$ where the viscosity solution $u(t,x)$ is continuously differentiable. Moreover, we present the propagation of singularity in forward of $u(t,x).$

研究动机与目标

• 研究由霍普夫型公式定义的时间依赖哈密顿-雅可比方程粘性解的可微性特征。
• 确定解在前向时间条带 $(0,t_0)\times\mathbb{R}^n$ 上连续可微的条件。
• 研究解中奇点从初始奇点向前时间传播的机制。
• 基于最大化者集对特征曲线进行分类，并将其与可微性及奇点结构关联。
• 通过最大化者集上的几何与分析技术，将先前在一维情形下的结果推广至高维（$n > 1$）。

提出的方法

• 使用霍普夫型公式 $u(t,x) = \max_{q\in\mathbb{R}^n} \{\langle x,q\rangle - \sigma^*(q) - \int_0^t H(\tau,q)\,d\tau\}$ 作为解的表示形式。
• 根据最大化者 $q$ 是否属于 $\sigma$ 在 $q$ 处的次微分，对类型 (I) 和 (II) 的特征曲线进行分析。
• 应用最大化者集 $\ell(t,x)$ 的概念，依据该集合的基数与结构，将点分类为正则或奇异。
• 对由哈密顿量梯度 $H_p$ 导出的连续映射应用不动点论证，证明连接奇异点的特征曲线的存在性。
• 利用 $\sigma^*$ 的有效定义域有界性与 $H_p$ 的一致连续性，控制时间区间上的传播行为。
• 应用隐函数定理与 $H_p$ 的连续性，建立局部正则性与条带可微性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由霍普夫型公式定义的粘性解在时间条带 $(0,t_0)\times\mathbb{R}^n$ 上连续可微？
• RQ2 类型 (I) 与 (II) 的特征曲线如何与某一点处解的可微性相关联？
• RQ3 解的奇点能否向前时间传播？若能，其条件为何？
• RQ4 最大化者集 $\ell(t,x)$ 在决定解的正则性方面起何作用？
• RQ5 当哈密顿量为时间依赖且非凸时，解的结构如何变化？

主要发现

• 若初始数据 $\sigma$ 为凸且利普希茨连续，且哈密顿量 $H(t,p)$ 连续且 $H_p$ 有界，则解 $u(t,x)$ 在条带 $(0,t_0)\times\mathbb{R}^n$ 上连续可微。
• 若 $(t_0,x_0)$ 为奇点，则在时空邻域内奇点向前传播，前提是 $H_p$ 一致有界。
• 若 $\ell(t,x)$ 为单点集，则解在 $(t,x)$ 处可微；若 $\ell(t,x)$ 包含多个点，则解可能奇异。
• 奇点向前传播：对任意 $t > t_0$，在以 $x_0$ 为中心、半径为 $m\epsilon$ 的球内存在奇点，其中 $m$ 依赖于时间区间。
• 在示例中，解在 $(0,\frac{1}{\sqrt{2}})\times\mathbb{R}$ 上连续可微，奇点出现在 $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$，且当 $t > \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，$x=0$ 的线段构成奇点集合。
• 某点处存在多条特征曲线并不必然导致奇点；仅当最大化者集 $\ell(t,x)$ 包含多个点且曲线为类型 (II) 时，奇点才会出现。