[论文解读] Regularity of weak solutions of the compressible barotropic Navier-Stokes equations

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 64被引用 5

一句话总结

该论文在周期边界条件下，于小时间区间内建立了二维和三维可压缩等熵Navier-Stokes方程弱解的正则性与唯一性，且无需初始密度存在正的下界。关键贡献是一个Prodi-Serrin型准则：只要密度在 $ L^\tau(0,T; L^{(N+1+\nu)}(\mathbb{T}^N)) $ 中保持有界（对任意 $ \nu > 0 $），弱解即保持光滑；若压力范数 $ \|P(\rho)\|_{L^\infty(0,T; L^q)} $ 对足够大的 $ q $ 保持有限，则可防止解发生爆破。

ABSTRACT

Regularity and uniqueness of weak solutions of the compressible barotropic Navier-Stokes equations with constant viscosity coefficients is proven for small time in dimension $N=2,3$ under periodic boundary conditions. In this paper, the initial density is not required to have a positive lower bound and the pressure law is assumed to satisfy a condition that reduces to $P(ρ)=aρ^γ$ with $γ>1$ (in dimension three, additional conditions of size will be ask on $γ$). The second part of the paper is devoted to blow-up criteria for slightly subcritical initial data for the scaling of the equations when the viscosity coefficients $(μ,λ)$ are assumed constant provided that their ratio is large enough (in particular $00$. Finally, we prove that weak solutions in the torus $\mathbb{T}^{N}$ turn out to be smooth as long as the density remains bounded in $L^{\infty}(0,T,L^{(N+1+\e)γ}(\mathbb{T}^{N}))$ with $\e>0$ arbitrary small. This result may be considered as a Prodi-Serrin theorem (see \cite{prodi} and \cite{serrin}) for compressible Navier-Stokes system.

研究动机与目标

• 在不假设初始密度存在正的下界条件下，于小时间区间内建立二维和三维可压缩等熵Navier-Stokes方程弱解的存在性与唯一性。
• 仅基于密度可积性，推导出一个爆破准则，特别关注压力 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $ 的 $ L^\tau(0,T; L^q) $ 范数，其中 $ q $ 足够大。
• 证明在环面 $ \mathbb{T}^N $ 上，只要密度在 $ L^\infty(0,T; L^{(N+1+\epsilon)\gamma}(\mathbb{T}^N)) $ 中有界（对任意小的 $ \epsilon > 0 $），弱解即变为光滑解，从而将经典的Prodi-Serrin框架推广至可压缩情形。
• 分析粘性系数 $ \mu $ 和 $ \lambda $ 的作用，特别是当其比值满足 $ \lambda < \frac{5}{4}\mu $ 时，对解正则性与爆破的控制作用。

提出的方法

• 利用Besov空间理论与抛积分解框架，估计Navier-Stokes方程中的非线性项，特别是对流项与压力项进行控制。
• 应用Bony抛积分解，将函数乘积分解为低频-低频、高频-高频及低频-高频相互作用，从而精确控制奇异项。
• 采用换位子估计 $ \| [\Delta_q, u \cdot \nabla] a \|_{L^p} \lesssim \| \nabla u \|_{L^\infty} \| a \|_{L^p} $，以控制频率局部化带来的误差项。
• 利用嵌入关系 $ L^\infty \hookrightarrow B^0_{\infty,\infty} $ 及Besov空间中的插值不等式，控制抛积分解中的余项。
• 应用Stokes系统最大正则性估计与能量估计，控制速度场及其在 $ L^2 $ 与 $ L^\infty $ 范数下的导数。
• 在临界Besov空间 $ B^\sigma_{p,r} $ 中推导速度与密度的先验估计，利用常系数可压缩Navier-Stokes方程的结构特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种初始数据与压力律条件下，可证明可压缩等熵Navier-Stokes方程的弱解在小时间区间内具有唯一性与正则性，即使初始密度可能为零？
• RQ2 能否建立一个仅依赖于压力 $ P(\rho) $ 的 $ L^\infty(0,T; L^q) $ 范数的爆破准则，而非依赖于速度梯度或密度有界性？
• RQ3 对任意小的 $ \epsilon > 0 $，密度在 $ L^\infty(0,T; L^{(N+1+\epsilon)\gamma}(\mathbb{T}^N)) $ 中有界，其在多大程度上可保证弱解的光滑性？
• RQ4 粘性系数 $ \mu $ 与 $ \lambda $（特别是其比值）如何影响可压缩情形下解的正则性与潜在爆破？
• RQ5 能否将Prodi-Serrin型正则性准则推广至可压缩Navier-Stokes系统？若可，对密度或压力的精确可积性条件为何？

主要发现

• 在维度 $ N=2,3 $ 的小时间区间 $ (0,T) $ 内，即使初始密度 $ \rho_0 $ 无正的下界，可压缩等熵Navier-Stokes方程的弱解仍具有唯一性与正则性。
• 只要密度 $ \rho $ 在 $ L^\infty(0,T; L^{(N+1+\epsilon)\gamma}(\mathbb{T}^N)) $ 中有界（对任意 $ \epsilon > 0 $），解即保持光滑，此为保证正则性的临界可积性条件。
• 建立了爆破准则：若 $ \|P(\rho)\|_{L^\infty(0,T; L^q)} < \infty $ 对足够大的 $ q > 1 $ 成立，则解可延拓至时间 $ T $ 之后，表明爆破仅在该范数发散时发生。
• 在三维情形下，当 $ \gamma > 1 $ 且 $ \lambda < \frac{5}{4}\mu $ 时，对 $ \gamma $ 的大小需附加额外条件，表明正则性结果依赖于粘性系数比值。
• 压力项 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $ 控制正则性损失，其 $ L^\infty(0,T; L^q) $ 范数在解无法光滑延拓至 $ T $ 时必发散，从而确认该条件的必要性。
• 分析结果表明，速度梯度 $ \nabla u $ 的 $ L^\infty $ 范数并非正则性所必需；仅需密度在临界Lebesgue空间中的可积性即可，为正则性问题提供了新视角。