[论文解读] Regularity on abelian varieties III: relationship with Generic Vanishing and applications

Giuseppe Pareschi, Mihnea Popa|ArXiv.org|Feb 7, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用 50

一句话总结

本文在阿贝尔簇上建立了 M-正则性与一般消去（GV）条件之间的精确关系，表明 M-正则层是其傅里叶-穆凯伊对偶为无 torsion 的 GV-层。证明了当其中一个因子为局部自由层时，GV-层的张量积仍为 GV-层，并利用此结果证明 GV-层是 nef 的。该框架为 pluricanonical 映射与塞沙德里常数提供了新的有效结果，并给出了向量丛正常生成的上同调准则。

ABSTRACT

We describe the relationship between the notions of $M$-regular sheaf and $GV$-sheaf in the case of abelian varieties. The former is a natural strengthening of the latter, and we provide an algebraic criterion characterizing it among the larger class. Based on this we deduce new basic properties of both $M$-regular and $GV$-sheaves. In the second part we give a number of applications of generation criteria for $M$-regular sheaves to the study of Seshadri constants, Picard bundles, pluricanonical maps on irregular varieties, and semihomogeneous vector bundles. This second part of the paper is based on our earlier preprint math.AG/0306103, with some improved statements and shortened arguments.

研究动机与目标

• 阐明阿贝尔簇上 M-正则性与一般消去（GV）条件之间的精确关系。
• 建立 GV-层与 M-正则层在张量积下的封闭性质，特别是当其中一个因子为局部自由层时。
• 利用 M-正则层的充分性与对偶性，证明阿贝尔簇上的 GV-层是 nef 的。
• 应用 M-正则层的生成性质，推导出极大阿尔巴内塞维数的不规则代数簇上 pluricanonical 映射的有效结果。
• 通过 M-正则性指标界定塞沙德里常数，并利用傅里叶-穆凯伊技巧研究 Picard 簇与 Verlinde 簇的上同调性质。

提出的方法

• 使用傅里叶-穆凯伊变换与格罗滕迪克对偶性，将 M-正则层表征为傅里叶-穆凯伊对偶为无 torsion 的 GV-层。
• 应用同调代数与交换代数技术，分析张量积下上同调支集的性质。
• 利用德巴尔的定理（关于 M-正则层的充分性）通过对偶性与基变换推导出 GV-层为 nef。
• 应用 Eagon-Northcott 分解计算雅可比簇上 Picard 簇及其张量幂的正则性。
• 利用对称积的结构与同源映射的拉回，结合阿贝尔簇上的 Castelnuovo-Mumford 引理与 Kempf 型论证，证明 $(-1)$-\Theta-正则丛的乘法映射的满射性。
• 依赖对称积结构与同源映射的拉回，将上同调消去性约化为除子类线性组合的充分性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿贝尔簇上，M-正则性与一般消去（GV）条件之间有何关系？
• RQ2 在何种条件下，两个 GV-层的张量积仍为 GV-层？
• RQ3 能否从 M-正则性与对偶性推导出阿贝尔簇上 GV-层的 nef 性？
• RQ4 对于极大阿尔巴内塞维数的不规则代数簇，能否获得 pluricanonical 系非常幅性的有效界？
• RQ5 M-正则性指标如何与塞沙德里常数及阿贝尔簇上向量丛的正常生成性相关？

主要发现

• M-正则层被表征为傅里叶-穆凯伊对偶为无 torsion 的 GV-层，为两个概念提供了精确联系。
• 当其中一个因子为局部自由层时，GV-层的张量积仍为 GV-层；由于无 torsion 准则，M-正则层也具有相同性质。
• 阿贝尔簇上的 GV-层是 nef 的，该结果由 M-正则层的充分性与对偶性理论推导得出。
• 在一般型且具有极大阿尔巴内塞维数的光滑射影簇 $Y$ 上，若其阿尔巴内塞像不被子环簇族所覆盖，则 $|3K_Y|$ 在阿尔巴内塞映射的例外像集之外为非常幅。
• 阿贝尔簇上极化 $L$ 的塞沙德里常数有下界，其下界由 $L$ 的 $M$-正则性指标给出，从而为局部正性提供新的数值不变量。
• 对于 $(-1)$-\Theta-正则向量丛 $E$ 与 $F$，乘法映射 $H^0(E) \otimes H^0(F) \to H^0(E \otimes F)$ 是满射，意味着其为正常生成。