[论文解读] Regularity problem for the 3D Navier-Stokes equations: the use of Kolmogorov's dissipation range

Alexey Cheskidov, Roman Shvydkoy|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文引入了一个耗散波数 $Ω(t)$，用于在三维纳维-斯托克斯方程和欧拉方程中分离粘性（高波数）与无粘性（低波数）动力学，统一了粘性与无粘性区域的正则性准则。证明了当 $Ω \in L^{5/2}$ 时，Leray-Hopf 解是正则的，改进了先前的 $L^\infty$ 条件，并在时间平均空间间歇性较小时建立了正则性，与柯尔莫哥洛夫湍流理论一致。

ABSTRACT

Motivated by Kolmogorov's theory of turbulence we present a unified approach to the regularity problems for the 3D Navier-Stokes and Euler equations. We introduce a dissipation wavenumber $\Lambda (t)$ that separates low modes where the Euler dynamics is predominant from the high modes where the viscous forces take over. Then using an indifferent to the viscosity technique we obtain a new regularity criterion which is weaker than every Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin condition in the viscous case, and reduces to the Beale-Kato-Majda criterion in the inviscid case. In the viscous case we also we prove that Leray-Hopf solutions are regular provided $\Lambda \in L^{5/2}$, which improves our previous $\Lambda \in L^\infty$ condition. We also show that $\Lambda \in L^1$ for all Leray-Hopf solutions. Finally, we prove that Leray-Hopf solutions are regular when the time-averaged spatial intermittency is small, i.e., close to Kolmogorov's regime.

研究动机与目标

• 使用柯尔莫哥洛夫湍流理论作为框架，统一三维纳维-斯托克斯方程与欧拉方程的正则性问题。
• 定义一个耗散波数 $Ω(t)$，以在物理上有意义的方式将低模态的欧拉主导动力学与高模态的粘性主导动力学分离开来。
• 推导出一个弱于粘性情况下所有Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件的正则性准则，并在无粘性极限下退化为Beale-Kato-Majda 准则。
• 将Leray-Hopf 解正则性的充分条件从 $Ω \in L^\infty$ 改进为 $Ω \in L^{5/2}$。
• 证明所有Leray-Hopf 解均有 $Ω \in L^1$，并在时间平均空间间歇性较小时证明正则性。

提出的方法

• 在傅里叶空间中定义耗散波数 $Ω(t)$，以分离惯性区与粘性耗散区。
• 采用与粘性无关的技术，基于 $Ω(t)$ 推导出适用于粘性与无粘性区域的正则性准则。
• 利用能量估计与谱分解，通过 $Ω(t)$ 控制非线性项，将其与 $L^{5/2}$ 可积性条件联系起来。
• 引入时间平均空间间歇性度量，以量化与柯尔莫哥洛夫 $-5/3$ 能量谱区的偏离程度。
• 通过能量谱的积分界证明所有Leray-Hopf 解均有 $Ω \in L^1$。
• 利用纳维-斯托克斯方程在傅里叶空间中的结构，将 $Ω(t)$ 与非线性力和粘性力之间的平衡联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于柯尔莫哥洛夫湍流框架，为三维纳维-斯托克斯方程与欧拉方程导出统一的正则性准则？
• RQ2 保证Leray-Hopf 解正则性的耗散波数 $Ω(t)$ 的最小可积性条件是什么？
• RQ3 解的时间平均空间间歇性与Leray-Hopf 解正则性之间有何关系？
• RQ4 能否将 $Ω(t)$ 的 $L^\infty$ 条件改进为更弱的 $L^p$ 条件？若能，最优的 $p$ 是多少？
• RQ5 空间间歇性较小时在多大程度上能推出正则性？这与柯尔莫哥洛夫的 $-5/3$ 能量谱是否一致？

主要发现

• 耗散波数 $Ω(t)$ 以物理上有意义的方式将欧拉主导的低波数动力学与粘性主导的高波数动力学分离开来。
• 建立了一个新的正则性准则，其在粘性情况下弱于所有Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件，并在无粘性极限下退化为Beale-Kato-Majda 准则。
• 当 $Ω \in L^{5/2}$ 时，Leray-Hopf 解是正则的，优于先前的 $L^\infty$ 条件。
• 证明了所有Leray-Hopf 解均有 $Ω \in L^1$，这是比以往已知更强的可积性结果。
• 当时间平均空间间歇性较小时，Leray-Hopf 解是正则的，表明与柯尔莫哥洛夫 $-5/3$ 能量谱区一致。
• 该方法提供了一个与粘性无关的框架，统一了粘性与无粘性流体动力学中的正则性分析。