[论文解读] Regularity properties of the degenerate Monge--Ampère equations compact Kähler manifolds

Mihai Păun|ArXiv.org|Sep 12, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 15

一句话总结

本文在背景形式 $\alpha$ 半正定且体积为正、右侧项具有受控可积性条件下，建立了紧致凯勒流形上退化蒙日-安培方程解的霍尔德正则性。通过正则化、全纯势论及修正的拉普拉斯估计方法，证明了解在某个小的纯量例外集合外属于霍尔德类 $\mathcal{C}^{1,\gamma}$，将丘成桐的正则性理论推广至具有对数极点奇点的退化情形。

ABSTRACT

We prove a regularity result for the Monge--Ampère equations on compact Kaehler manifolds with degenerate rhs member.

研究动机与目标

• 在紧致凯勒流形上，当背景形式 $\alpha$ 半正定且体积为正时，建立退化蒙日-安培方程解的霍尔德正则性。
• 通过克服 $\mathrm{tr}_\alpha \partial\bar\partial f$ 的无界性，将丘成桐的正则性理论推广至 $\alpha$ 在某些点可能为零的退化情形。
• 在右侧项涉及具有对数极点的拟全纯凸函数的可积性条件下，证明解属于 $\mathcal{C}^{1,\gamma}$ 类，且在某个小的纯量例外集合 $Y_\gamma$ 外成立。
• 通过在更强假设下证明正则性结果，解决关于 $\exp(-\psi)$ 在 $L^1$ 可积性条件下蒙日-安培方程存在连续解的猜想。

提出的方法

• 使用卷积或逼近技术对具有对数极点的拟全纯凸函数 $\psi_1, \psi_2$ 进行正则化。
• 应用右侧项为正则化形式的蒙日-安培方程理论，依赖于丘成桐对非退化方程的存在性与唯一性结果。
• 利用科洛杰伊与艾西迪厄-居杰-泽里亚希的 $L^p$ 估计及全纯势论，获得正则化解的一致 $L^\infty$ 估计。
• 通过在其上同调类内修改度量 $\alpha$ 以确保强正性，受科达尔与津岛方法的启发，推导出一致的 $\mathcal{C}^2$-估计。
• 通过函数 $\Phi_\varepsilon = \widehat{\varphi}_\varepsilon - \eta$（其中 $\eta$ 具有对数极点）应用修正的拉普拉斯比较法，控制复海森矩阵。
• 对量 $-2C\Phi_\varepsilon + \widehat{\psi}_{2;\varepsilon} + \log(n + \Delta_\varepsilon \Phi_\varepsilon)$ 应用最大值原理，导出 $\Delta_\varepsilon \Phi_\varepsilon$ 的一致估计，从而实现霍尔德控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致凯勒流形上，退化蒙日-安培方程 $(\alpha + \sqrt{-1}\partial\bar\partial \varphi)^n = \exp(\psi_1 - \psi_2)\omega^n$ 在何种条件下存在属于霍尔德类 $\mathcal{C}^{1,\gamma}$ 的解？
• RQ2 当 $\int_X \alpha^n > 0$ 时，是否可将蒙日-安培方程的正则性理论从凯勒情形推广至在某些点为零的半正形式 $\alpha$？
• RQ3 右侧项中对数极点奇点在多大程度上影响解的正则性？是否可通过全纯势论估计加以控制？
• RQ4 在 $\exp(\psi_1 - \psi_2)$ 满足可积性条件时，蒙日-安培方程解的存在性是否蕴含更高正则性（如霍尔德连续性）？
• RQ5 科洛杰伊与艾西迪厄-居杰-泽里亚希的方法是否可调整以在退化情形下获得 $\mathcal{C}^{1,\gamma}$ 正则性？

主要发现

• 对每个 $\gamma \in [0,1)$，存在一个闭的纯量子集 $Y_\gamma \subset X$，使得蒙日-安培方程的解 $\varphi$ 属于 $\mathcal{C}^{1,\gamma}(X \setminus Y_\gamma)$。
• 解 $\varphi$ 在 $X$ 上一致有界于 $L^\infty$ 范数，且在 $Y_\gamma$ 外的 $\mathcal{C}^{1,\gamma}$ 范数由与正则化无关的常数控制。
• 关键估计 $n + \Delta_\varepsilon(\widehat{\varphi}_\varepsilon - \eta) \leq C \exp(-\widehat{\psi}_{2;\varepsilon} + 2C(\widehat{\varphi}_\varepsilon - \eta))$ 在 $X_1 \setminus E$ 上一致成立，使得最大值原理可被应用。
• 函数 $\exp(-\widehat{\psi}_2 - 2C\eta)$ 属于 $L^p_{\text{loc}}(\widehat{X} \setminus Y_p)$ 对所有 $p > 0$ 成立，确保了在正则化设定下的局部可积性。
• 推论表明：若 $\psi_1, \psi_2$ 具有对数极点且 $\int_X \exp(\psi_1 - \psi_2) dV_\omega < \infty$，则解 $\varphi$ 在 $X \setminus Y$ 上光滑，其中 $Y \subset X$ 为某纯量子集，将先前结果推广至非代数流形。
• 证明依赖于修正的拉普拉斯比较法与最大值原理对一个精心构造的辅助函数的应用，从而在复海森矩阵上实现一致控制。