[论文解读] Regularity properties of the Stern enumeration of the rationals

Bruce Reznick|ArXiv.org|Oct 19, 2006

semigroups and automata theory参考文献 11被引用 25

一句话总结

本文研究了Stern序列的正则性性质，该序列是一个递归整数序列，可唯一枚举所有正有理数。研究证明，平均比值 $ s(n)/s(n+1) $ 为 $ \frac{3}{2} $，且模 $ d $ 的连续对 $ (s(n) \mod d, s(n+1) \mod d) $ 在模 $ d $ 的可行剩余类中均匀分布，同时给出了模 $ d $ 下取值频率的精确渐近密度公式。

ABSTRACT

The Stern sequence (s(n)) is defined by s(0) = 0, s(1) = 1, s(2n) = s(n), s(2n+1) = s(n) + s(n+1). Stern showed in 1858 that gcd(s(n),s(n+1)) = 1, and that for every pair of relatively prime positive integers (a,b), there exists a unique n so that s(n) = a and s(n+1) = b. We show that, in a strong sense, the average value of s(n)/s(n+1) is 3/2, and that for all d, (s(n),s(n+1)) is uniformly distributed among all feasible pairs of congruence classes modulo d. More precise results are presented for d = 2 and 3.

研究动机与目标

• 建立Stern对正有理数枚举中比值 $ \frac{s(n)}{s(n+1)} $ 的平均值。
• 研究模 $ d \geq 2 $ 下连续对 $ (s(n) \mod d, s(n+1) \mod d) $ 的分布。
• 推导计数函数 $ T(N;d,i) = \#\{n < N : s(n) \equiv i \pmod{d}\} $ 的精确渐近公式。
• 分析 $ d = 3 $ 的特殊情况，包括精确公式和 $ T(N;3,1) - T(N;3,2) $ 差值的界限。
• 探索序列模小整数时的更深层次结构对称性与递推模式，包括不同模数下计数函数相等性的猜想。

提出的方法

• 使用递归定义 $ s(0) = 0 $, $ s(1) = 1 $, $ s(2n) = s(n) $, $ s(2n+1) = s(n) + s(n+1) $ 生成Stern序列。
• 应用生成函数和线性递推分析 $ s(n) \mod d $ 的分布，特别是 $ d = 2 $ 和 $ d = 3 $ 的情况。
• 采用归纳法和二叉阵列的结构分析，证明 $ (s(n) \mod d, s(n+1) \mod d) $ 在 $ \mathcal{S}_d $（模 $ d $ 的互素剩余对集合）上均匀分布。
• 通过线性递推的特征多项式，推导出 $ T(2^r; 3, 0) $ 的精确公式，得到 $ \mathcal{O}(\sqrt{N}) $ 的误差项。
• 引入函数 $ \Delta(N) = T(N;3,1) - T(N;3,2) $，并证明其在 $ \{0,1,2,3\} $ 内有界，其值仅取决于 $ S_3(n) = (s(n) \mod 3, s(n+1) \mod 3) $。
• 利用模运算和对 $ n $ 奇偶性的分类讨论，证明 $ \Delta(2N) = \Delta(4N) $，从而支持分布性质的归纳证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Stern对 $ \mathbb{Q}_+ $ 的枚举中，$ \frac{s(n)}{s(n+1)} $ 的平均值是多少？
• RQ2 模 $ d $ 下，对 $ (s(n) \mod d, s(n+1) \mod d) $ 在互素剩余对集合中的分布有多均匀？
• RQ3 满足 $ s(n) \equiv i \pmod{d} $ 的整数 $ n $ 的渐近密度 $ r_{d,i} $ 是多少？
• RQ4 当 $ d = 3 $ 时，差值 $ T(N;3,1) - T(N;3,2) $ 的精确行为是什么？
• RQ5 对于不同的模数 $ d_1, d_2 $，是否存在计数函数 $ T(2^r; d_1, i) $ 与 $ T(2^r; d_2, i) $ 之间的更深层次结构等价性？

主要发现

• 比值 $ \frac{s(n)}{s(n+1)} $ 的平均值为 $ \frac{3}{2} $，且有 $ \sum_{n=0}^{N-1} \frac{s(n)}{s(n+1)} = \frac{3N}{2} + \mathcal{O}(\log^2 N) $。
• 对每个 $ d \geq 2 $，序列 $ (s(n) \mod d, s(n+1) \mod d) $ 在 $ \mathcal{S}_d $（满足 $ \gcd(i,j,d) = 1 $ 的对 $ (i,j) $ 的集合）上均匀分布。
• 计数函数 $ T(N;d,i) $ 满足 $ T(N;d,i) = r_{d,i} N + \mathcal{O}(N^{\tau_d}) $，其中 $ \tau_d < 1 $，且 $ r_{d,i} $ 由涉及 $ d $ 和 $ i $ 的素因数的乘积公式显式给出。
• 当 $ d = 2 $ 时，$ s(n) $ 为偶数当且仅当 $ n \equiv 0 \pmod{3} $，且 $ T(N;2,0) $ 的误差项为 $ \mathcal{O}(1) $，因此 $ \tau_2 = 0 $。
• 当 $ d = 3 $ 时，差值 $ \Delta(N) = T(N;3,1) - T(N;3,2) $ 在 $ \{0,1,2,3\} $ 内有界，其值仅取决于 $ S_3(n) = (s(n) \mod 3, s(n+1) \mod 3) $。
• 推导出 $ T(2^r;3,0) $ 的精确公式，表明 $ \mathcal{O}(\sqrt{N}) $ 误差项为最优，并给出递推关系的特征多项式为 $ T^3 - T^2 - 4 $，其根为 $ 2, \mu, \bar{\mu} $。