[论文解读] Regularization and minimization of Haefliger structures of codimension one

Gaël Meigniez|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文为维度至少为4的闭流形上余维一叶状结构的Thurston h-原理提供了初等且构造性的证明，通过正则化与最小化技术，构造出所有叶均为稠密的极小叶状结构——而无需依赖Mather的同调等价性。关键结果是：每个欧拉示性数为零的此类流形均 admits 一个极小光滑余维一叶状结构。

ABSTRACT

We prove the existence of a minimal (all leaves dense) foliation of codimension one, on every closed manifold of dimension at least 4 whose Euler characteristic is null, in every homotopy class of hyperplanes distributions, in every homotopy class of Haefliger structures, in every differentiability class, under the obvious embedding assumption. The proof uses only elementary means, and reproves Thurston's existence theorem in all dimensions. A parametric version is also established.

研究动机与目标

• 在不使用Mather同调等价性的前提下，为维度 ≥4 的余维一叶状结构提供Thurston h-原理的初等、构造性证明。
• 在维度至少为4的闭流形上构造极小叶状结构——即所有叶均为稠密的叶状结构。
• 将h-原理推广至带边流形，同时保持极小性与叶状结构的同伦类。
• 解决Lawson的一个经典问题，并推翻关于Novikov闭叶定理高维类比的猜想。
• 证明所有维度 ≥4 的闭连通流形，若欧拉示性数为零，则存在极小叶状结构。

提出的方法

• 使用一般同伦将给定的 ${\Gamma_{1}}$-结构转化为具有可控奇点的Morse奇点叶状结构。
• 通过成对引入指标为1和2的Morse奇点，提高叶的亏格，并借助局部漩涡实现极小性。
• 引入一个伪梯度场 $\nabla\xi$，使其与选定向量场 $V$ 的反向构成横截弧，连接奇点。
• 通过虫洞通道填补产生的空洞，而不引入紧致叶，同时保持极小性与同伦型。
• 在奇点与横截弧邻域内应用 $C^r$-小的同痕，以保持 $C^r$-结构的同时光滑化叶状结构。
• 在叶状结构除横截弧外均光滑的邻域内，应用Shoshitaichvili定理，以确保所期望的极小叶状结构的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 ≥4 下，是否可以不借助Mather同调等价性，构造性地证明Thurston关于余维一叶状结构的h-原理？
• RQ2 是否可能在维度至少为4的闭流形上构造出所有叶均为稠密的极小叶状结构？
• RQ3 何种流形条件允许存在光滑极小余维一叶状结构？
• RQ4 如何在保持极小性与同伦类的前提下，将h-原理推广至带边流形？
• RQ5 能否利用极小叶状结构推翻关于高维Novikov闭叶定理类比的古典猜想？

主要发现

• 每个维度至少为4、欧拉示性数为零的闭连通流形均 admits 一个极小光滑余维一叶状结构。
• 该证明避免使用Mather同调等价性，仅依赖初等微分拓扑与同伦技术。
• 通过成对抵消Morse奇点并以不引入紧致叶的方式填补空洞，构造出极小叶状结构。
• h-原理在相对情形下成立：对于带边流形，叶状结构可被构造为极小且在边界上同伦于原始结构。
• 该构造适用于所有 $C^r$-正则性类（$1 \leq r \leq \infty$），并在关键区域使用 $C^1$-小的同痕以光滑叶状结构。
• 该结果解决了Lawson长期悬而未决的问题，并推翻了关于高维中极小叶状结构不存在性的猜想。