[论文解读] Regularization by noise and stochastic Burgers equations

Massimiliano Gubinelli, Milton Jara|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过利用空间-时间白噪声的正则化效应，提出了一套新颖的框架，用于求解奇异随机Burgers方程。当正则化参数 θ > 5/4 时，利用一类噪声控制的分布，证明了广义随机Burgers方程在超黏性正则化下弱解的存在性与路径唯一性，使非线性项在分布意义下得以明确定义。

ABSTRACT

We study a generalized 1d periodic SPDE of Burgers type: $$ \partial_t u =- A^θu + \partial_x u^2 + A^{θ/2} ξ$$ where $θ> 1/2$, $-A$ is the 1d Laplacian, $ξ$ is a space-time white noise and the initial condition $u_0$ is taken to be (space) white noise. We introduce a notion of weak solution for this equation in the stationary setting. For these solutions we point out how the noise provide a regularizing effect allowing to prove existence and suitable estimates when $θ>1/2$. When $θ>5/4$ we obtain pathwise uniqueness. We discuss the use of the same method to study different approximations of the same equation and for a model of stationary 2d stochastic Navier-Stokes evolution.

研究动机与目标

• 为解决带有空间-时间白噪声与粗糙非线性的奇异随机Burgers方程缺乏严格解概念的问题。
• 证明附加噪声能够提供足够的正则化效应，使非线性项在分布设定下得以定义。
• 在 θ > 1/2 时，为带有超黏性算子 A^θ 的广义随机Burgers方程建立弱解的存在性。
• 通过受控过程框架，证明当 θ > 5/4 时方程的路径唯一性。
• 将该方法推广至带有类似噪声诱导正则化的二维随机Navier-Stokes方程。

提出的方法

• 引入一类称为“受控”过程的分布过程 R_θ，其小时间行为模仿由 A^{θ/2}ξ 驱动的平稳Ornstein-Uhlenbeck过程。
• 将非线性漂移项 F(v_t) = ∂_ξ(v_t)^2 定义为时间积分 A^v_t = ∫₀ᵗ F(v_s)ds，证明当 θ > 1/2 时其在分布空间中是良定义的。
• 采用Galerkin逼近方案构造有限维解 u^N_t，并证明其在受控类 R_θ 中收敛于解。
• 基于Sobolev范数与高斯测度不变性，应用先验估计以控制二维Navier-Stokes模型中非线性项的增长。
• 证明平稳测度 γ 在动力系统下不变，且其支撑在 H^σ（σ < 0）上，从而可应用抽象Wienerspace技术。
• 采用谱分解与能量估计，将非线性项以 |k|^{-2σ} 形式有界，当 σ > 0 时该表达式可 summable，确保噪声正则化项的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 u 为空间白噪声且噪声为时空白噪声时，随机Burgers方程中非线性项 ∂_ξ(u^2) 是否能被有意义地定义？
• RQ2 添加线性超黏性项 A^θ（θ > 1/2）是否足以提供足够正则化，使非线性漂移项在分布意义下良定义？
• RQ3 当 θ > 5/4 时，广义随机Burgers方程的解是否具有路径唯一性？
• RQ4 该正则化框架是否可应用于带有乘法时空噪声的二维随机Navier-Stokes方程？
• RQ5 不变高斯测度在构造此类SPDE的平稳解中起何作用？

主要发现

• 当 θ > 1/2 时，对于所有 v ∈ R_θ，非线性项 F(v_s) = ∂_ξ(v_s)^2 的时间积分在分布空间中作为连续过程是良定义的。
• 即使在KPZ区域以下，广义随机Burgers方程在 θ > 1/2 时也存在弱解。
• 当 θ > 5/4 时，通过受控过程框架可实现方程的路径唯一性。
• 在二维Navier-Stokes模型中，通过谱估计得到 I_N(k) ≲ |k|^{-2σ}，当 σ > 0 时该表达式可 summable，从而控制非线性项。
• 不变高斯测度 γ 支撑于 H^σ（σ < 0），且在动力系统下保持不变，从而可构造平稳解。
• 该方法可推广至二维随机Navier-Stokes方程，当 σ > 0 时，非线性项在不变测度下可积。