[论文解读] Regularization of a stationary point process by a stationary increments perturbation

Loïc Thomassey, Raphaël Lachièze-Rey+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2026

Point processes and geometric inequalities被引用 0

一句话总结

论文通过基于 Palm 分布的扰动，结合分数布朗场来正则化格点结构，得到 1D 的高同质性过程并实现 n log n 的点生成；给出显式的结构因子公式。

ABSTRACT

We present a novel procedure where a stationary point process is regularized through the convolution with a continuous random field with stationary increments, in the sense that the dependency between distant points is weakened; and the potential peaks in the spectrum (or Bragg peaks), reminiscent of a periodic behavior, are erased. We use this procedure to efficiently generate a hyperuniform point process in dimension 1 using a fractional Brownian Motion; simulating n points with complexity n log(n).

研究动机与目标

• 通过扰动格点的 Palm 分布，构造并正则化平稳点过程。
• 证明对一个 d 维分数布朗场的扰动得到的 Palm 分布等效的遍历过程具有绝对连续的 Bartlett 谱。
• 推导扰动过程的结构因子可解表达，并讨论高同质性性质，特别是在 1D 情况。
• 演示利用分数布朗运动在 1D 维度上实现高效的高同质性点集生成。

提出的方法

• 通过将一个平稳增量高斯过程 B 做为装饰，对 Palm 分布的 Palm lattice 进行扰动以得到被扰动的 Palm 点集 ˜_B。
• 证明 ˜_B = {x + B_x : x ∈ ˜} 是一个遍及的平稳点过程 ˜_B 的 Palm 分布。
• 显示 ˜_B 的 Bartlett 谱在 t ≠ 0 时具有绝对连续性，密度为 s_{˜_B}(t) = E[ ˜-对 e^{-1/2 (Σ_x t, t)} e^{-i(t, x)} ˜(dx) ]，其中 Σ_x 为变差函数。
• 对 d 维独立坐标的 f dBf 进行特殊化，给出显式结构因子公式。
• 讨论混合性、遍历性和高同质性含义，包括在 1D 下利用分数布朗运动的渐近行为。
• 给出数值模拟笔记，显示通过高斯增量对 1D 的扰动 Palm 格点可实现 n log n 的生成效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过用 d 维分数布朗场扰动平稳点过程的 Palm 分布，是否能消除格点周期性并产生高同质性的平稳过程？
• RQ2 扰动过程的显式结构因子是什么，在何种条件下它具有绝对连续性（没有原子部分）？
• RQ3 扰动是否保持遍历性并使结果过程具有混合性？
• RQ4 在 1D 下，哈斯特指数对高同质性行为的影响及方差增长的含义？
• RQ5 是否存在在 1D 下对大规模 n 进行高效采样扰动 Palm lattice 的方法？

主要发现

• 扰动后的 Palm 格点 ˜_B 是与原始点过程等强度的平稳遍历点过程的 Palm 分布。
• 结构因子 s_{˜_B}(t) 在 t ≠ 0 下具有绝对连续性，由涉及变差 Σ_x 与 Palm 测度的期望给出，确保移除格点的原子分量。
• 在 1D 情况下，若 B 为指数组合的分数布朗运动，结构因子在接近零处的行为为 |t|^{1-2h}，当 h < 1/2 时呈现高同质性。
• 通过 fBm 的波动可消除格点结构中原子部分，产生具有与哈斯特参数相关方差增长的高同质性过程。
• 数值模拟表明计算效率较高：在 1D 中对具有平稳增量的高斯过程采样 n 点可在 n log(n) 次运算完成，支持大规模高同质性配置的生成。